Geometria hiperboliczna
Z Wikipedii
Geometria hiperboliczna zwana także geometria siodła, geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego – jedna z geometrii nieeuklidesowych.
Spis treści |
[edytuj] Konstrukcja
Geometrię hiperboliczną otrzymuje się z geometrii euklidesowej w wyniku zastąpienia pewnika o prostych równoległych następującym postulatem hiperbolicznym:
"Przez dowolny punkt nie leżący na danej prostej przechodzą co najmniej dwie różne proste rozłączne z daną."
[edytuj] Historia
Pierwsze wyniki w geometrii hiperbolicznej otrzymał około roku 1700 Giovanni Gerolamo Saccheri, który starał się wykazać prawdziwość pewnika o prostych równoległych metodą sprowadzenia do sprzeczności. Założywszy zaprzeczenie wspomnianego pewnika starał się wyprowadzić stąd sprzeczność z przyjętymi założeniami, jednak wnioski jakie otrzymał, nie "chciały" być z nimi sprzeczne. Były to twierdzenia geometrii hiperbolicznej, o czym Saccheri nie wiedział, a uznawszy je za wystarczająco (według ówczesnych pojęć) absurdalne, uznał sprawę za rozwiązaną przyjmując ich absurdalność za szukaną sprzeczność. Ponownie, choć tym razem świadomie, geometria hiperboliczna została odkryta przez Bolyaia, Gaussa i Łobaczewskiego, którego nazwiskiem jest czasem nazywana.
Geometria hiperboliczna okazuje się być szczególnym przypadkiem geometrii Riemanna o stałej i ujemnej krzywiźnie. Stąd też pochodzi nazwa hiperboliczna, gdyż w zależności od krzywizny Riemann nazwał uzyskane przez siebie geometrie eliptyczną (dla krzywizny dodatniej), paraboliczną (dla krzywizny zero) oraz hiperboliczną (dla krzywizny ujemnej).
[edytuj] Własności
Geometria hiperboliczna ma wiele własności innych od geometrii euklidesowej, z których każda jest konsekwencją postulatów hiperbolicznych. Oto niektóre fakty i twierdzenia geometrii hiperbolicznej.
Przez punkt poza prostą można poprowadzić dwie (a nawet nieskończenie wiele) prostych nie przecinających danej.
Dla dowolnego kąta istnieje prosta równoległa do obu jego ramion. Prosta ta nazywa się prostą zagradzającą kąta.
Suma rozwartości kątów trójkąta jest mniejsza niż π.
W geometrii hiperbolicznej obok jednostki rozwartości kąta (patrz radian) można także zdefiniować jednostkę długości/pola (w przeciwieństwie do geometrii euklidesowej, w której można to zrobić jedynie z kątem). Jeżeli mianowicie uzna się odległość wierzchołka kąta prostego od jego rzutu prostokątnego na zagradzającą za równą 
to pole każdego trójkąta jest równe π minus suma rozwartości jego kątów.
Trójkąty o kątach odpowiednio tej samej rozwartości są do siebie przystające. W geometrii euklidesowej spełnienie tego warunku gwarantuje jedynie podobieństwo.
[edytuj] Modele
Są cztery zwykle stosowane modele geometrii hiperbolicznej.
Model Kleina wnętrza koła jako płaszczyzny hiperbolicznej i cięciwy tego koła jako linii. Zaletą tego modelu jest prostota, ale wadą jest to, że kąty w płaszczyźnie hiperbolicznej są zniekształcone.
Model dysku Poincaré także angażuje wnętrze koła, ale linie są reprezentowane przez łuki koła prostopadłego do granicy koła oraz średnicy okręgu.
Model półpłaszczyzny Poincaré za płaszczyznę hiperboliczną przyjmuje półpłaszczyznę Euklidesa jako określoną przez Euklidesa linię B (samo B nie jest włączane). Hiperboliczne linie są więc zarówno półokręgami prostopadłymi do B jak i promieniami prostopadłymi do B.
Oba modele Poincaré zachowują hiperboliczne kąty i tym samym odpowiadają wymaganiom. Wszystkie izometrie objęte tym modelem są zatem transformacjami Mobiusa.
Czwarty model jest modelem Minkowskiego, który stosuje N-wymiarową hiperboloidę o obrocie osadzonym w N+1-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Ten model stosuje metrykę, mocą której odległość między dwoma punktami na hiperboloidzie wyraża się wzorem:
. To jest ta sama metryka jak ta używana w szczególnej teorii względności w odniesieniu do czasoprzestrzeni.
