Podobieństwo

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy geometrii. Zobacz też: podobieństwo macierzy.

Definicja intuicyjna:
figury podobne to figury mające ten sam kształt, ale mogące różnić się wielkością.

Podobieństwo – przekształcenie geometryczne zachowujące stosunek odległości punktów. Także relacja równoważności utożsamiająca figury geometryczne, które nazywane są wtedy podobnymi, o ile istnieje podobieństwo przeprowadzające jedną na drugą.

[edytuj] Definicja

Podobieństwo to przekształcenie przestrzeni unormowanej $(X, |\cdot|)$ na siebie przeprowadzające dowolne dwa różne punkty $M, N$ odpowiednio na punkty $P, Q$ dla którego istnieje współczynnik $k > 0$ , nazywany skalą bądź stosunkiem podobieństwa, że

$|M-N| = k\cdot |P-Q|$ .

W szczególności $X$ może być prostą, płaszczyzną lub przestrzenią ze zwykłą odległością euklidesową.

Podobieństwem nazywa się również relację równoważności zdefiniowaną następująco:

dwie figury są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę na drugą.

Często fakt podobieństwa figur $A$ i $B$ oznacza się zwykle symbolicznie jako $A ˜ B$ .

[edytuj] Przykłady

Kształty jednego koloru są podobne

Figurami podobnymi są dowolne dwa: odcinki, okręgi, koła, sfery, kule, wielokąty foremne, czy wielościany foremne o tej samej liczbie boków.

[edytuj] Własności

Złożenie podobieństw o skalach $k 1, k 2$ jest podobieństwem o skali $k 1 k 2$
Przekształcenie odwrotne do podobieństwa o skali $k$ jest podobieństwem o skali $\tfrac{1}{k}$ .
Dowolne podobieństwo trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jest złożeniem izometrii i jednokładności o skali równej skali podobieństwa.
Podobieństwo jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy $k = 1$

Z definicji oraz powyższych własności wynika, że w figurach podobnych w przestrzeniach euklidesowych:

stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy skali podobieństwa,
odpowiadające sobie kąty są przystające.
stosunek pól figur płaskich jest równy kwadratowi skali podobieństwa,
stosunek objętości figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.