Interpolacja (matematyka)

Z Wikipedii

Interpolacja – metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego.

Spis treści 1 Definicja 2 Interpolacja wielomianowa 2.1 Funkcje sklejane 3 Funkcje trygonometryczne 4 Funkcje wymierne

[edytuj] Definicja

Niech dany będzie przedział oraz niech będzie dany skończony ciąg punktów z tego przedziału,

.

Wyrazy powyższego ciągu nazywane będą węzłami.

Przypuśćmy także, że zadane są wartości dla . Pary (x_k,y_k) nazywa się punktami pomiarowymi.

Funkcję f określoną na przedziale [a,b] nazywamy funkcją interpolacyjną (również interpolującą) określoną w zadanych węzłach jeśli

f(x_k) = y_k dla wszystkich .

Jeśli dana jest funkcja oraz dla każdego , to funkcja interpolująca punkty pomiarowe (x_k,y_k) (dla ) może być nazwana interpolacją funkcji w węzłach .

Na funkcję interpolującą f nakłada się różne warunki prowadzące do różnych zadań interpolacyjnych i tak, jeśli zażądamy aby f była określonej klasy, to mówimy wówczas o interpolacji funkcjami tej klasy.

[edytuj] Interpolacja wielomianowa

Interpolacja wielomianowa polega na przybliżaniu funkcji za pomocą wielomianów. Metoda ta była rozwinięta przez Josepha Lagrange'a a jej podstawą jest twierdzenie, że

Dla danych n + 1 punktów pomiarowych istnieje jedyny wielomian stopnia co najwyżej n interpolujący te punkty.

Zwykle zakłada się o funkcji interpolowanej, że jest ciągła, choć często dodaje się warunki różniczkowalności, które umożliwiają dokładniejsze oszacowania błędów przybliżeń. Najprostszym przypadkiem jest interpolacja liniowa, zadanie interpolacji dla dwóch węzłów x₀ i x₁. Rozwiązaniem w klasie wielomianów pierwszego stopnia jest wtedy funkcja liniowa, której wykres przechodzi przez punkty (x₀,f(x₀)) i (x₁,f(x₁) (por. rysunek).

[edytuj] Funkcje sklejane

Błąd interpolacji można zmniejszać poprzez zwiększanie liczby węzłów, jednak prowadzi to do dość szybkiego wzrostu złożoności obliczeniowej zadania, a spadek błędu nie jest pewny (efekt Rungego). Ponieważ wielomiany są funkcjami dość regularnymi nie nadają się zbytnio do przybliżania funkcji nieregularnych na większych przedziałach. Z tego powodu wybiera się interpolację wielomianami niskiego stopnia, jednak dzieli się przedział interpolacji na mniejsze i na każdym z nich przeprowadza niezależnie interpolację. Aby poprawić przybliżenie nakłada się dodatkowe warunki gładkości na brzegach podziałów, zwykle zgodność pochodnych stopnia o jeden mniejszego niż stopień użytych do interpolacji wielomianów, co wraz z ustalonymi warunkami brzegowymi daje jednoznaczność rozwiązania zadania.

[edytuj] Funkcje trygonometryczne

Interpolacja trygonometryczna służy przede wszystkim przybliżaniu funkcji okresowych. Idea stojąca za tą interpolacją jest następująca: wielomiany z powodu braku okresowości powodują duże błędy podczas przybliżeń funkcji okresowych, z tego względu używa się zamiast nich funkcji funkcji trygonometrycznych mających charakter okresowy.

[edytuj] Funkcje wymierne