Macierze Pauliego
Z Wikipedii
Macierzami Pauliego nazywamy zbiór zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzonych przez Wolfganga Pauliego w związku z pojęciem spinu w mechanice kwantowej.
Wyglądają one następująco:
![\sigma_1 =
\left[
\begin{matrix}
0&&1\\
1&&0
\end{matrix}
\right]](../../../../math/e/3/4/e343fe31c17b1355dcfcb0f8f69ec705.png)
![\sigma_2 =
\left[
\begin{matrix}
0&&-i\\
i&&0
\end{matrix}
\right]](../../../../math/a/2/c/a2c087730029fd9be5c4019ce5826574.png)
![\sigma_3 =
\left[
\begin{matrix}
1&&0\\
0&&-1
\end{matrix}
\right]](../../../../math/f/3/d/f3d8d730c95e41062afa05af92d561cb.png)
W literaturze używa się również macierzy σ0, która jest zwykłą macierzą identyczności
Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową wymiaru 2×2 tworzą bazę w przestrzeni macierzy zespolonych wymiaru 2×2.
Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:
gdzie i=1,2,3. Macierze Pauliego spełniają następujące relacje komutacji oraz antykomutacji:
![\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j] &=& \sigma_i\sigma_j - \sigma_j\sigma_i &=& 2 i\,\epsilon_{i j k}\,\sigma_k \\
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& \sigma_i\sigma_j + \sigma_j\sigma_i &=& 2 \delta_{i j} I
\end{matrix}](../../../../math/4/2/8/4284ece0341b6a63bbab7d853fa85ec7.png)
gdzie εijk jest symbolem Leviego-Civity, a δij jest deltą Kroneckera.
Niektóre z innych własności macierzy Pauliego:
W ostatnim wzorze 
jest wektorem trójwymiarowym długości 1: 
, a ![\vec \sigma = [\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3]^T](../../../../math/5/4/d/54dba116c9cc073ace4025b8d68ef161.png)
