Ślad macierzy
Z Wikipedii
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
|
Niektóre typy macierzy Operacje na macierzach Inne zagadnienia |
edytuj ten szablon |
Ślad macierzy – w algebrze liniowej suma elementów na głównej przekątnej macierzy kwadratowej.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Śladem macierzy A nazywamy wielkość
- .
Stosuje się również oznaczenia oraz . Macierz, której ślad jest równy zeru nazywa się czasami macierzą bezśladową.
[edytuj] Własności
- Ślad jest operatorem liniowym. Niech oraz , wówczas
- addytywność: ,
- jednorodność: .
- Przekątna główna macierzy nie ulega zmianie przy transpozycji, stąd
- .
- Jeśli , to
-
- .
[edytuj] Przekształcenia liniowe
Ślad macierzy podobnych jest identyczny, ponieważ dla dowolnej macierzy odwracalnej P zachodzi
- .
Niech będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni V. Powyższa obserwacja pozwala na zdefiniowanie śladu endomorfizmu przestrzeni liniowych jako śladu jego macierzy w dowolnej bazie.
Niech będą wartościami własnymi macierzy A. Ponieważ A można przekształcić przez podobieństwo (za pomocą operacji elementarnych) do macierzy w postaci Jordana, której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej, to zachodzi
- .
Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest równość
- .
[edytuj] Operatory śladowe
Można podać ogólniejszą definicję, dotyczącą nie tylko macierzy, ale również operatorów przestrzeni Hilberta.
Niech H będzie przestrzenią Hilberta, jej bazą ortonormalną oraz niech , gdzie oznacza zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta przestrzeni H, tj. takich operatorów liniowych i ciągłych , że
- .
Funkcję , daną wzorem
nazywamy śladem.
Operatory należące do nazywamy operatorami śladowymi.
Powyższa definicja jest poprawna i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni H. W przypadku, gdy H jest przestrzenią skończeniewymiarową, to każdy jej operator reprezentowany jest przez pewną macierz. Wówczas wartość operatora śladowego na dowolnym jej operatorze pokrywa się z wartością śladu macierzy tego operatora.
[edytuj] Źródło
- F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.