Mnożniki Lagrange'a
Z Wikipedii
Mnożnik Lagrange'a – metoda obliczania ekstremum warunkowego funkcji różniczkowalnej wykorzystywana w teorii optymalizacji. Nazwa metody pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Josepha Louisa Lagrange'a.
Spis treści |
[edytuj] Sformułowanie i analiza problemu
Szukanie ekstremów warunkowych funkcji będących zarazem punktami regularnymi[1], sprowadza się do rozwiązania układu równań operatorowych
gdzie Wiadomo, że każdy taki funkcjonał Λ jest reprezentowany przez układ m liczb rzeczywistych a pochodna jest macierzą wymiaru rzędu m[1]. Układ równań operatorowych sprowadza się więc do układu m + n równań skalarnych:
gdzie o n + m zmiennych Wszystkie punkty, w których funkcja może przyjmować ekstrema warunkowe, należą do zbioru rozwiązań tego układu równań. Liczby λi spełniają tylko rolę pomocniczą i nazywane są często mnożnikami Lagrange'a. Po znalezieniu punktów spełniających warunek konieczny dla ekstremum, należy odwołać się do warunku wystarczającego, tj. zbadać dodatnią (ujemną określoność)
dla
co sprowadza się do badania formy kwadratowej
gdzie
Warunek jest równoważny równaniu
które w postaci macierzowej przybiera formę
Do badania określoności tej macierzy można stosować kryterium Sylvestera.
W praktyce, gdy wprowadzamy funkcję pomocniczą
i szukamy dla niej warunków koniecznych na istnienie jej ekstremów, jako funkcji dwóch zmiennych[2], tj. rozwiązaniu układu równań a następnie wyrugowaniu z tego układu równań czynnika nieoznaczonego λ.
Do otrzymanego warunku dołączamy warunek G(x,y) = 0. Równoważnie, wszystkie punkty, które mogą być ekstremami warunkowymi można wyznaczyć z układu równań
gdzie oznacza jakobian funkcji f i G.
[edytuj] Przykład – ekstrema funkcji na okręgu
Ilustracją zastosowania metody mnożników Lagrange'a jest problem wyznaczenia ekstremów funkcji:
na okręgu jednostkowym, tj. przy warunku
Zatem funkcja G jest postaci
- ,
a funkcja F wyraża się wzorem:
Wszystkie punkty, które mogą być ekstremami warunkowymi są rozwiązaniami układu równań
Podstawiając do pierwszego równania uzyskujemy: Stosując podobne podstawienie do trzeciego równania, dostaje się warunek skąd wynika Funkcja może zatem przyjmować ekstrema tylko w punktach Ponieważ okrąg jest zbiorem domkniętym i ograniczonym (czyli zwartym[3]), więc na mocy twierdzenia Weierstrassa, funkcja osiąga w tych punktach ekstrema (warunkowe):
- minimum warunkowe:
- maksimum warunkowe:
Warto zauważyć, że funkcja f, określona na całej płaszczyźnie (bez dodatkowego warunku) nie ma ekstremów.
[edytuj] Przykład – problem maksymalnej entropii
Problem polega na znalezieniu dyskretnego rozkładu zmiennej losowej maksymalizującego entropię. Funkcja entropii prawdopodobieństw wyraża się wzorem
Oczywiście, suma prawdopodobieństw jest równa jeden, więc warunek na przyjmuje postać
Stosując metodę mnożników Lagrange'a, dostajemy układ n równań:
który sprowadza się do układu
Różniczkując każde równanie n-krotnie, powyższy układ sprowadza się do poniższego:
Z powyższego wynika, że wszystkie prawdopodobieństwa są równe, tj. a ponieważ ich suma jest równa jeden, wynika stąd, że dla dowolnego :
[edytuj] Zastosowania
Metodę optymalizacji przy pomocy mnożników Langrange'a powszechnie stosuje się w teorii ekonomii, na przykład w celu rozwiązania problemu wyboru konsumenta, w którym konsument maksymalizuje swoją funkcję użyteczności, tak aby nie przekroczyć ograniczenia budżetowego.
Przypisy
[edytuj] Bibliografia
- Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976.
- Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976. ISBN 978-83-01-09939-8.
[edytuj] Zobacz też
- twierdzenie Lusternika (ekstrema warunkowe)
[edytuj] Linki zewnętrzne
- (en) Lagrange Multiplier MathWorld