Odwzorowanie nierozszerzające
Z Wikipedii
Spis treści |
Odwzorowanie nierozszerzające (zwane przez niektórych autorów słabą kontrakcją) to odwzorowanie przestrzeni metrycznych, które nie zwiększa odległości punktów.
[edytuj] Definicja
Niech (X,dX) oraz (Y,dY) będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie 
nazywamy nierozszerzającym, jeśli dla dowolnych 
zachodzi nierówność
.
Innymi słowy, odwzorowanie nierozszerzające to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą równą 1.
[edytuj] Własności
Każde odwzorowanie nierozszerzające, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest jednostajnie ciągłe, a więc w szczególności ciągłe.
W przeciwieństwie do kontrakcji, odwzorowanie nierozszerzające przestrzeni metrycznej zupełnej X w siebie może nie mieć punktów stałych (np. translacje w przestrzeniach Banacha) lub mieć ich wiele (np. identyczność na 
). Przy dodatkowych założeniach o X można jednak wykazać istnienie punktu stałego. Przykładowo, jeśli X jest niepustym, domkniętym, ograniczonym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta, to ma punkt stały (twierdzenie Browdera–Goehde'a–Kirka).
[edytuj] Teoria kategorii
Odwzorowania nierozszerzające są morfizmami w kategorii przestrzeni metrycznych.
