Oktawy Cayleya
Z Wikipedii
Oktawy Cayleya (oktoniony, ang. octonions) to uogólnione liczby będące niezachowującym łączności mnożenia rozszerzeniem kwaternionów. Oktawy zostały równolegle wymyślone przez dwóch matematyków: Johna T. Gravesa w roku 1843 i Arthura Cayleya w roku 1845.
Oktawy stanowią trzecią z kolei po liczbach zespolonych i kwaternionach algebrę powstałą przez zastosowanie konstrukcji Cayleya-Dicksona do liczb rzeczywistych.
Oktawy są algebrą 8-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Z tego też powodu mogą być traktowane jako ośmiowyrazowe ciągi liczb rzeczywistych. Oktawa jest kombinacją liniową 8 jednostek urojonych stanowiących bazę standardową przestrzeni: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 i e7. Gdzie e1...e7 to pierwiastki kwadratowe z -1. Działanie dodawania na oktawach jest równoważne dodawaniem wektorów 8-wymiarowej przestrzeni, natomiast działanie mnożenia definiuje poniższa tabela:
| · | 1 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
| 1 | 1 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
| e1 | e1 | -1 | e4 | e7 | -e2 | e6 | -e5 | -e3 |
| e2 | e2 | -e4 | -1 | e5 | e1 | -e3 | e7 | -e6 |
| e3 | e3 | -e7 | -e5 | -1 | e6 | e2 | -e4 | e1 |
| e4 | e4 | e2 | -e1 | -e6 | -1 | e7 | e3 | -e5 |
| e5 | e5 | -e6 | e3 | -e2 | -e7 | -1 | e1 | e4 |
| e6 | e6 | e5 | -e7 | e4 | -e3 | -e1 | -1 | e2 |
| e7 | e7 | e3 | e6 | -e1 | e5 | -e4 | -e2 | -1 |
Kolejność w mnożeniu to wiersze (ei) - kolumny (ej). Stąd też:
Obrazek przedstawia metodę mnożenia oktonionów. Porównując z tabelką u góry można łatwo ją pojąć i zapamiętać.
Oktawy stanowią jedyną algebrę skończonego wymiaru nad ciałem liczb rzeczywistych z wykonalnym dzieleniem, w której mnożenie nie jest łączne, ale jest łączne w algebrze tworzonej przez każde dwa z jej elementów.
Szczególnym przypadkiem oktaw Cayleya są:
Oktawy Cayleya są szczególnym przypadkiem:
[edytuj] Zobacz też
[edytuj] Materiały zewnętrzne
- The Octonions - Artykuł Johna C. Baeza
