Orientacja (matematyka)

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Orientacja – pojęcie matematyczne odnoszące się do kilku obiektów oznaczające intuicyjnie określenie „strony” wierzchniej lub spodniej („lewej” lub „prawej”) obiektu. W szczególności jeżeli dana przestrzeń nie jest orientowalna, to znaczy, że nie jest możliwe wyróżnienie jej „stron”.

Orientacja rzeczywistej przestrzeni liniowej to podział baz uporządkowanych na „dodatnio” zorientowane i „ujemnie” zorientowane. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dwie możliwe orientacje baz nazywa się prawoskrętną i lewoskrętną (zob. reguła prawej dłoni). Jednakże wybór orientacji jest niezależny od skrętności bazy (chociaż o bazach prawoskrętnych mówi się zwykle, że są zorientowane dodatnio, można jednak przypisać im orientację ujemną).

[edytuj] Przestrzeń liniowa

Niech $X$ będzie $n$ -wymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową, zaś układy wektorów $a_1, \dots, a_n$ oraz $b_1, \dots, b_n$ jej bazami algebraicznymi. Macierz przejścia $P a b$ od bazy $(a i)$ do $(b i)$ jest nieosobliwa. Oczywiście macierzą przejścia $P b a$ od bazy $(b i)$ do $(a i)$ jest macierz do niej odwrotna. Obie te macierze posiadają wyznacznik tego samego znaku.

Bazy $(a i),(b i)$ przestrzeni $X$ są zgodnie zorientowane, jeżeli wyznacznik macierzy przejścia $P a b$ jest dodatni, w przeciwnym wypadku mówi się, że bazy te są przeciwnie zorientowane. Relacja zgodnej zorientowania między bazami przestrzeni $X$ jest relacją równoważności, zatem rozbija ona rodzinę wszystkich baz tej przestrzeni na klasy abstrakcji nazywane orientacjami tej przestrzeni. Jeżeli $(a i)$ jest ustaloną bazą $X$ , to każda baza jest zorientowana zgodnie z nią lub z bazą $-a_1, a_2, \dots, a_n$ . Jeżeli $τ$ jest orientacją $X$ , to jej drugą orientację nazywamy przeciwną względem $τ$ i oznaczamy $- τ$ .

Parę $(X,τ)$ , czyli przestrzeń liniową $X$ wraz z ustaloną jej orientacją $τ$ nazywa się przestrzenią zorientowaną. Orientację przestrzeni $\mathbb R^n$ wyznaczoną przez jej bazę kanoniczną określa się jako orientację dodatnią, zaś przeciwną względem niej – orientacją ujemną.