Problem geometryczny Karola Borsuka

Z Wikipedii

Problem geometryczny Karola Borsuka dotyczy dzielenia zbiorów ograniczonych w przestrzeni euklidesowej na podzbiory o mniejszych średnicach.

Nietrudno w przestrzeni euklidesowej pokryć 3-wymiarową kulę czterema podzbiorami o średnicy mniejszej od średnicy kuli. Podobnie jest z kulą n-wymiarową i n+1 podzbiorami. W roku 1933 Karol Borsuk pokazał, że n podzbiorów nie wystarczy. Postawił zatem następujące pytanie ogólne, dotyczące dowolnych zbiorów w przestrzeni euklidesowej, a nie tylko kul^[1]:

Czy każdy zbiór o średnicy 1, w przestrzeni euklidesowej wymiaru n, można rozbić na n+1 zbiorów o średnicach mniejszych od 1?

(Borsuk pyta o n+1 zbiorów, gdyż, jak sam pokazał na przykładzie kuli, n nie wystarczy).

W roku 1945 H. Hadwiger opublikował swój wynik o pozytywnej odpowiedzi w szczególnym wypadku ograniczonych ciał wypukłych, których powierzchnia jest gładka (dopuszcza w każdym punkcie dokładnie jedną (n-1)-wymiarową płaszczyznę styczną). W roku 1971 A.S.Riesling pokazał, że hipoteza Borsuka zachodzi dla ciał centralnie symetrycznych, a C. A. Rogers, w tym samym roku, że dla każdego zbioru ograniczonego, który odwzorowywany jest w siebie przez symetrie n-wymiarowego sympleksu regularnego.

Pełną odpowiedź na pytanie Borsuka dla n=3 uzyskał polski matematyk J. Perkal (1947) i Anglik H. G. Eggelston (1955). Prostsze rozwiązania dla n=3 podali w 1957 pracujący w USA izraelski geometra Branko Grünbaum i Węgier A. Heppes. Grünbaum dowolny przestrzenny zbiór o średnicy 1 zawarł w jedenastościanie, który otrzymuje sie z foremnego ośmiościanu, o przeciwległych ścianach odległych o 1, poprzez ścięcie 3 "rogów" (stąd dodatkowe 3 kwadratowe ściany, w sumie 8+3=11 ścian). Teraz wystarczy podzielić jedenastościan. Cztery części na które można podzielić jedenastościan (a więc i dany zbiór) mają średnice nie przekraczające:

a więc mniejszą od jeden. Przypuszczenie, że średnice części dadzą się zmniejszyć do:

nie zostało potwierdzone.

J. Kahn i G. Kalai ^[2] pokazali ku powszechnemu zdziwieniu, że dla wszystkich, dostatecznie wielkich n (czyli dla wszystkich wymiarów n poza skończoną liczbą wyjątków) odpowiedź na pytanie Borsuka brzmi "NIE".

Przypisy