Twierdzenie Pitagorasa

Z Wikipedii

Animacja ilustrująca twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa – jest twierdzeniem geometrii euklidesowej, które w zachodnio-europejskim kręgu kulturowym przypisywane jest żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii.

[edytuj] Treść twierdzenia

Twierdzenie Pitagorasa

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.

$a^2 + b^2 = c^2\!$

Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W sytuacji na rysunku obok: suma pól kwadratów "czerwonego" i "niebieskiego" jest równa polu kwadratu "fioletowego".

[edytuj] Dowody

Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest przytłaczająca, według niektórych źródeł przekracza 350. Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze.

Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur. Zaprezentujemy tu jedynie kilka wybranych dowodów, do innych podajemy odsyłacze na końcu artykułu.

[edytuj] Dowód układanka

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości $a, b$ i $c$ jak rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości $a + b$ w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras.

Powyższy dowód, choć prosty, nie jest elementarny w tym sensie, że jego poprawność wymaga uprzedniego uzasadnienia, że pole kwadratu złożonego z trójkątów i mniejszych kwadratów jest równe sumie pól tych figur. Może się to wydawać oczywiste, jednak dowód tego faktu wymaga uprzedniego zdefiniowania pola, na przykład poprzez konstrukcję miary Jordana.

Uwaga ta dotyczy wszystkich dowodów opartych na podobnych ideach.

[edytuj] Dowód przez podobieństwo (szkolny)

Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: "duży" – $\triangle ABC$ , "różowy" – $\triangle ADC$ i "niebieski" – $\triangle DBC$ są podobne. Niech $| A B | = c, | B C | = a$ i $| A C | = b$ . Można napisać proporcje:

${|DB| \over a} = {a \over c}$ ,

${|AD| \over b} = {b \over c}$ .

Stąd:

$a^2 = c \cdot |DB|$

$b^2 = c \cdot |AD|$

i po dodaniu stronami:

$a^2 + b^2 = c \cdot |DB| + c \cdot |AD| = c (|DB| + |AD|) = c^2$ .

[edytuj] Dowód czysto geometryczny

Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwu mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego $\triangle ABC$ są równe polom odpowiednich prostokątów na jakie wysokość $C D$ dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.

Dla dowodu zauważmy, że pole kwadratu $A C J K$ jest równe podwojonemu polu trójkąta $\triangle KAB$ – podstawą trójkąta $\triangle KAB$ jest bok $K A$ kwadratu, a wysokość trójkąta jest równa bokowi $C A$ tego kwadratu. Podobnie, pole prostokąta $A E G D$ jest równe podwojonemu polu trójkąta $\triangle CAE$ – podstawą trójkąta $\triangle CAE$ jest bok $A E$ prostokąta, a wysokość trójkąta jest równa bokowi $E G$ prostokąta. Jednak trójkąty $\triangle KAB$ i $\triangle CAE$ są przystające, co wynika z cechy "bok-kąt-bok" – $| K A | = | C A | , | A B | = | A E |$ i kąt $\sphericalangle KAB$ jest równy kątowi $\sphericalangle CAE$ – a zatem mają równe pola, skąd wynika, że pole kwadratu $\Box ACJK$ jest równe polu prostokąta $A E G D$ .

Analogicznie (rozważając trójkąty $\triangle CBF$ i $\triangle HBA$ można udowodnić, że pole kwadratu $\Box CBHI$ jest równe polu prostokąta $B F G D$ . Stąd, suma pól obu kwadratów równa jest polu kwadratu $A E F B$ .

[edytuj] Dowód Garfielda

Autorem sprytnego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten pochodzi z roku 1876 i przebiega jak następuje: na przyprostokątnej $| B C | = a$ danego trójkąta prostokątnego $\triangle ABC$ odkładamy $| C D | = | A B | = b$ , a następnie na prostej $E D$ równoległej do $A B$ odkładamy $| B C | = a$ . Trójkąt $\triangle ACE$ jest prostokątny $( \sphericalangle ACE=180^\circ-\sphericalangle ACB-\sphericalangle ECD$ $=180^\circ-\sphericalangle ACB-\sphericalangle CAB=\sphericalangle ABC=90^\circ)$ i równoramienny, a jego pole wynosi ${|AC|^2 \over 2} = {c^2 \over 2}$ ; pola trójkątów $\triangle ABC$ i $\triangle\triangle CDE$ są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie $2 \cdot {ab \over 2}$ . Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez $A B D E$ o polu $(b + a)(a + b) / 2$ . Stąd równości:

${(b+a)(a+b) \over 2} = {c^2 \over 2} + 2 \cdot {ab \over 2},$

$(b+a)(a+b) = c^2 + 2 \cdot ab,$

$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2\cdot ab,$

$\mathbf a^2 + \mathbf b^2 = \mathbf c^2 \,$

[edytuj] Twierdzenie odwrotne

Prawdziwe jest następujące twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli dane są trzy dodatnie liczby $a, b$ i $c$ takie, że $a 2 + b 2 = c 2$ , to istnieje trójkąt o bokach długości $a, b$ i $c$ , a kąt między bokami o długości $a$ i $b$ jest prosty.

Najprawdopodobniej twierdzenie to wykorzystywane było w wielu starożytnych kulturach Azji (Chinach, Indiach, Babilonii) i Egipcie do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości $3$ , $4$ i $5$ jednostek, aby uzyskać kąt prosty między bokami o długościach $3$ i $4$ .

[edytuj] Dowód

Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów.

My to udowodnimy następująco:

Weźmy dowolny trójkąt $A B C$ o bokach odpowiednio:

$| B C | = a, | A C | = b, | A B | = c$ spełniający warunek:

$a 2 + b 2 = c 2$ .

Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt $K L M$ taki że:

$| K L | = a, | K M | = b$ oraz $\sphericalangle LKM = 90^\circ$

Trójkąt $K L M$ jest prostąkątny zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia piragorasa i obliczyć bok $L M$ :

$| L M | 2 = a 2 + b 2$

z trójkąta $A B C$ mamy:

$| L M | 2 = a 2 + b 2 = c 2$

zatem:

$| L M | = c$

Okazało się, że:

$| B C | = a = | K L | , | A C | = b = | K M | , | A B | = c = | L M |$

Z cechy przystawania trójkątów BBB wnioskujemy, że trójkąty $A B C$ i $K L M$ są przystające. Z faktu, iż trójkąt $K L M$ jest prostokątny wynika, że trójkąt $A B C$ jest prostokątny.

[edytuj] Uogólnienia

Pewne uogólnienia twierdzenia Pitagorasa zostały podane już przez Euklidesa w jego Elementach: jeśli zbuduje się figury podobne na bokach trójkąta prostokątnego, to suma pól powierzchni dwóch mniejszych będzie równa polu powierzchni największej figury.

[edytuj] Twierdzenie cosinusów

Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolne, niekoniecznie prostokątne, trójkąty nosi nazwę twierdzenia cosinusów i znane było już w starożytności:
Jeśli w trójkącie o bokach długości $a, b$ i $c$ oznaczyć przez $γ$ miarę kąta leżącego naprzeciw boku $c$ , to prawdziwa jest równość:

$a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma = c^2\,$ .

[edytuj] Twierdzenie Dijkstry o trójkątach

Trywialny wniosek z twierdzenia cosinusów zgrabnie sformułował Edsger Dijkstra:
Jeżeli w dowolnym trójkącie naprzeciw boków długości $a, b$ i $c$ znajdują się odpowiednio kąty $α,β,γ$ , to zachodzi równość:

$\operatorname{sgn}(\alpha + \beta - \gamma) = \operatorname{sgn}(a^2 + b^2 - c^2)$ ,

gdzie $\operatorname{sgn}$ oznacza funkcję signum.

[edytuj] Uogólnienie na dowolną przestrzeń euklidesową

Niech $V$ będzie przestrzenią euklidesową oraz $x,y\in V$ . Jeśli $x\perp y$ , to $\|x\|^2+\|y\|^2=\|x+y\|^2$
Jeszcze inne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeniach euklidesowych to tożsamość Parsevala.

[edytuj] Uwagi

Trzeba zauważyć, że twierdzenie Pitagorasa jest twierdzeniem geometrii euklidesowej i wynika z aksjomatów tej teorii, a w istocie równoważne jest słynnemu piątemu pewnikowi Euklidesa o prostych równoległych. Nie musi być ono prawdziwe dla trójkątów, które mierzymy w naszym wszechświecie. Jednym z pierwszych matematyków, którzy zdali sobie z tego sprawę był Carl Gauss, który bardzo starannie mierzył wielkie trójkąty w swoich badaniach geograficznych, aby sprawdzić prawdziwość twierdzenia. Na powierzchni kuli twierdzenie to nie jest jednak prawdziwe – obowiązuje tam geometria Riemanna.

Ogólna teoria względności mówi, że w bardzo silnych polach grawitacyjnych – na przykład w pobliżu czarnych dziur – twierdzenie jest fałszywe (tam także obowiązuje geometria Riemanna). Również w olbrzymich skalach kosmicznych to twierdzenie może być fałszywe w związku z krzywizną przestrzeni w wielkiej skali. Jest to jeden z otwartych problemów kosmologii.

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

Szczepan Jeleński, Śladami Pitagorasa

[edytuj] Linki zewnętrzne

Kilka dowodów twierdzenia Pitagorasa

Zobacz galerię na Wikimedia Commons:
Twierdzenie Pitagorasa

Kategorie: Geometria • Trójkąty • Twierdzenia matematyczne

We provide Linux to the World

Twierdzenie Pitagorasa

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Treść twierdzenia

[edytuj] Dowody

[edytuj] Dowód układanka

[edytuj] Dowód przez podobieństwo (szkolny)

[edytuj] Dowód czysto geometryczny

[edytuj] Dowód Garfielda

[edytuj] Twierdzenie odwrotne

[edytuj] Dowód

[edytuj] Uogólnienia

[edytuj] Twierdzenie cosinusów

[edytuj] Twierdzenie Dijkstry o trójkątach

[edytuj] Uogólnienie na dowolną przestrzeń euklidesową

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Linki zewnętrzne

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach