Przekształcenie afiniczne

Z Wikipedii

Przekształcenie afiniczne płaszczyzny lub przestrzeni, pokrewieństwo, powinowactwo: każde różnowartościowe przekształcenie geometryczne, które wszystkie proste zawarte w dziedzinie tego odwzorowania przekształca na proste.

Przekształcenia afiniczne płaszczyzny i przestrzeni w siebie obejmują m.in. izometrie (np. przesunięcie równoległe, obrót, symetrię osiową, symetrię płaszczyznową, symetrię z obrotem, symetrię z poślizgiem), jednokładności i powinowactwa osiowe.

Własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach afinicznych nazywa się niezmiennikami afinicznymi; przykładami niezmienników afinicznych mogą być równoległość prostych i skośne położenie prostych.

Przekształcenie afiniczne płaszczyzny zachowuje również stosunek długości odcinków równoległych, a przekształcenie afiniczne przestrzeni - stosunek pól figur leżących na płaszczyznach równoległych.

Przekształcenie afiniczne zachowuje też równość wektorów, co pozwala na uogólnienie powyższej definicji.

Spis treści

1 Definicja formalna
2 Twierdzenia
- 2.1 Twierdzenie o istnieniu p. a. z zadaną częścią liniową
- 2.2 Twierdzenie o istnieniu p. a. zadanego na bazie punktowej
3 Zobacz też

[edytuj] Definicja formalna

Niech $E 1, E 2$ będą przestrzeniami afinicznymi oraz $S (E 1), S (E 2)$ ich przestrzeniami stycznymi. Odwzorowanie $f\colon E_1 \longrightarrow E_2$ nazywamy afinicznym, gdy istnieje taki punkt $P_0\in E_1$ , że przekształcenie $\hat f\colon S(E_1) \longrightarrow S(E_2 )$ określone wzorem $\hat f(\overrightarrow{P_0X})=\overrightarrow{f(P_0)\; f(X)}$ jest przekształceniem liniowym.

Odzworowanie $\hat f$ nazywamy częścią liniową odwzorowania afinicznego $f$ .

[edytuj] Twierdzenia

[edytuj] Twierdzenie o istnieniu p. a. z zadaną częścią liniową

Niech $E 1, E 2$ będą przestrzeniami afinicznymi, $P\in E_1, Q\in E_2$ oraz $\varphi\colon S(E_1)\longrightarrow S(E_2)$ jest przekształceniem liniowym. Wówczas istnieje dokładnie jedno przekształcenie afiniczne $f\colon E_1 \longrightarrow E_2$ takie, że $f (P) = Q$ i $\hat f=\varphi$ .

[edytuj] Twierdzenie o istnieniu p. a. zadanego na bazie punktowej

Niech $E 1, E 2$ będą przestrzeniami afinicznymi oraz $(P_0, P_1, \ldots P_n), (Q_0, Q_1, \ldots Q_n)$ będą bazami punktowymi odpowiednio $E 1$ i $E 2$ . Wówczas istnieje dokładnie jedno przekształcenie afiniczne $f\colon E_1 \longrightarrow E_2$ takie, że $f(P_i)=Q_i,\;i\in\{0,\ldots,n\}$ .