Równoległość

Z Wikipedii

Równoległość relacja równoważności zdefiniowana pomiędzy obiektami ze zbioru obejmującego: proste, płaszczyny (ogólniej podprzestrzenie co najwyżej n-1-wymiarowe zanurzone w przestrzeni n-wymiarowej), wektory, odcinki, półproste, kierunki.

Spis treści

1 Definicje
2 Według Euklidesa
3 Aksjomat Playfaira
4 Wnioski
5 Zobacz też

[edytuj] Definicje

Dwie proste są równoległe, jeśli leżą na jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Dwie płaszczyzny są równoległe, jeśli leżą w jednej przestrzeni i nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.

Prosta i płaszczyzna są do siebie równoległe, jeśli leżą w jednej przestrzeni i nie mają punktów wspólnych lub prosta leży na tej płaszczyźnie.

Dwie proste, a i b są równoległe:

[edytuj] Według Euklidesa

Jeżeli odcinek przecina dwie proste w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po tej samej stronie odcinka jest równa dwóm kątom prostym, to te dwie proste są równoległe.

Dwie proste, a i b są równoległe:

[edytuj] Aksjomat Playfaira

Szkocki matematyk, John Playfair, określił następujący aksjomat:

Przez dowolny punkt można przeprowadzić prostą równoległą do zadanej prostej.

Przez punkt P można przeprowadzić prostą b równoległą do danej prostej a:

[edytuj] Wnioski

Dwie proste równoległe nie przecinają się (nie mają punktów wspólnych), lub pokrywają się. W geometrii rzutowej mówi się że dowolne dwie proste przecinają się - proste równoległe w tzw punkcie w nieskończoności.

W analizie dwie proste o równaniach typu

a 1 x + b 1 y + c 1 = 0

a 2 x + b 2 y + c 2 = 0

są równoległe, jeśli ich odpowiednie współczynniki kierunkowe są równe, czyli:

$\left| \begin{matrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{matrix}\right| =0$

Każda prosta, czy płaszczyzna jest równoległa do siebie samej (szczególny przypadek aksjomatu zwrotności dla relacji równoważności jaką jest równoległość)

Jeśli a jest równoległa do b, to b jest równoległa do a (szczególny przypadek aksjomatu symetrii relacji równoważności).

Jeżeli a i b są równoległe, a c jest równoległa do a, to b i c są równoległe (szczególny przypadek aksjomatu przechodniości).

Jeżeli a i b są równoległe, a c nie jest równoległa do a, to b i c nie są równoległe (konsekwencja właściwości relacji równoważności - b i c są w innych klasach abstrakcji).