Aksjomat

Z Wikipedii

Aksjomat (postulat, pewnik; gr. αξιωμα aksíoma – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej.
Intuicyjnie i nieściśle ujmując:

aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej, lecz na ich bazie udowadnia się inne jej zdania (twierdzenia).

W formalnym sensie definicja aksjomatu jest nieco szersza (zobacz dalej), jednak powyższa definicja, choć nie do końca ścisła, oddaje praktyczny sposób ich użycia.

Spis treści 1 Wyjaśnienie pojęcia aksjomatu 2 Modelowanie 3 Prawdziwość 4 Niesprzeczność 5 Niezależność 6 Zupełność 7 Kategoryczność 8 Historia 9 Przypisy 10 Zobacz też

[edytuj] Wyjaśnienie pojęcia aksjomatu

Matematyka jest zbiorem różnych teorii, takich jak geometria euklidesowa czy arytmetyka. Każda z nich operuje na specyficznym dla siebie zasobie pojęć. Matematycy mówią, że dana teoria jest wyrażona w języku opartym na określonym alfabecie.^[1]

Przykład: elementami alfabetu geometrii (termami geometrii) mogą być:

• symbol relacyjny Pu(x). Jeśli Pu(x) jest prawdą, będziemy mówili, że x to punkt,
• symbol relacyjny Pr(x). Jeśli Pr(x) jest prawdą, będziemy mówili, że x to prosta,
• symbol relacyjny L(l,P). Jeśli L(l,P) jest prawdą, będziemy mówili, że punkt P leży na prostej l.

We wcześniejszych ujęciach logiki matematycznej powiedzielibyśmy, że punkt, prosta i relacja "punkt leży na prostej" są pojęciami pierwotnymi geometrii. Obecnie takie sformułowanie spotyka się coraz rzadziej.

Elementów tego alfabetu nie definiuje się formalnie podczas konstrukcji danej teorii. W naszym przypadku potrzebujemy tylko wiedzieć, że dla dowolnego rozważanego obiektu każdy z symboli relacyjnych może być prawdą lub fałszem. Konkretny sens jest im nadawany dopiero w procesie tworzenia modelu teorii, o czym dalej.

Teoria w logice jest zbiorem twierdzeń opisujących pewne relacje między jej pojęciami. Formalnie są to formuły zdaniowe, zapisywane w języku danej teorii z użyciem symboli jej języka i dodatkowo symboli logicznych, takich jak np. kwantyfikatory.

Przykład: twierdzenie geometryczne „Przez dwa dowolne punkty można przeprowadzić prostą” można formalnie zapisać następująco:

czyli: jeśli A i B to punkty, to istnieje takie l, że l to prosta i A leży na l i B leży na l.

Niektóre z tych twierdzeń dają się wyprowadzić z innych twierdzeń danej teorii. Dowodząc jakieś twierdzenie, musimy oprzeć dowód na innych twierdzeniach, które z kolei także należałoby udowodnić itd. Jeśli więc jakikolwiek dowód ma mieć skończoną długość, potrzeba jakichś zdań, których prawdziwość przyjmowalibyśmy bez dowodu. Takie zdania nazywane są aksjomatami, ich zbiór aksjomatyką.

Formalnie aksjomatem może być dowolna niesprzeczna wewnętrznie formuła zdaniowa wyrażona w języku danej teorii. Wszelkie stosowane w praktyce aksjomaty są jednak zdaniami zawsze prawdziwymi w obrębie danej teorii (tautologiami), są wzajemnie niesprzeczne i odpowiadają również węższym definicjom podanym w poprzednim akapicie i na początku artykułu. Zwykle aksjomatyka jest też kategoryczna. Powody ku temu zostaną wyjaśnione w dalszej części artykułu.

[edytuj] Modelowanie

Z teoriami matematycznymi związane są tzw. modele tych teorii. Stworzenie modelu oznacza określenie (zinterpretowanie) każdego z symboli języka danej teorii za pomocą symboli języka innej teorii.

Przykład: dla dwuwymiarowej geometrii euklidesowej typowym modelem jest przestrzeń kartezjańska oparta na aksjomatach arytmetyki, gdzie:

• punkt został zinterpretowany jako para uporządkowana liczb rzeczywistych (to znaczy formalnie Pu(x) uznajemy za prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy x jest parą takich liczb)
• prosta została zinterpretowana jako zbiór tych par (x,y), spełniających równanie (y_A − y_B)(x − x_B) − (x_A − x_B)(y − y_B) = 0
• relacja „punkt leży na prostej” jako relacja przynależności do zbioru.

Modelowanie nie jest definiowaniem pojęć pierwotnych. Dla tej samej teorii można stworzyć różne modele, więc gdyby tak było, jedno pojęcie musiałoby mieć wiele sprzecznych definicji. Na przykład można zinterpretować punkt również jako parę uporządkowaną liczb algebraicznych (a nie liczb rzeczywistych), a prostą jako zbiór par (x,y) liczb algebraicznych spełniających równanie (y_A − y_B)(x − x_B) − (x_A − x_B)(y − y_B) = 0.

[edytuj] Prawdziwość

Model danej teorii musi spełniać wszystkie jej aksjomaty (tym samym w semantycznym sensie podczas modelowania zakłada prawdziwość tych aksjomatów). Wówczas wszystkie udowodnione na ich bazie twierdzenia danej teorii stosują się także do tak "przetłumaczonych" pojęć. Model jest w pewnym sensie praktycznym zastosowaniem danej teorii matematycznej.

[edytuj] Niesprzeczność

Ponieważ od dowolnego modelu wymaga się, aby spełniał wszelkie aksjomaty danej teorii, więc teoria, której aksjomaty byłyby sprzeczne ze sobą nawzajem, nie miałaby żadnego modelu. Takich aksjomatyk zatem nie stosuje się.

[edytuj] Niezależność

Nie ma także formalnego wymogu, aby aksjomaty były niezależne, czyli jedne aksjomaty nie dawały się wyprowadzić z innych. Nie ma formalnego ograniczenia na ich liczbę. Matematycy uważają jednak, że eleganckie jest sformułowanie danej teorii w postaci jak najmniejszej liczby prostych i niezależnych aksjomatów. Ułatwia to tworzenie modelu danej teorii i upraszcza dowodzenie ich niesprzeczności.

Jeśli A jest skończonym zbiorem aksjomatów, to istnieje podzbiór taki, że A' jest niezależny, a jednak ma tę samą siłę, co A, tzn. każdy aksjomat w zbiorze A można udowodnić na bazie aksjomatów w A'. Jeśli A jest nieskończony, to w ogólnym przypadku nie ma takiego podzbioru, w niektórych szczególnych przypadkach może jednak istnieć.

[edytuj] Zupełność

Często okazuje się, że aksjomatyka nie jest zupełna, to znaczy istnieją pewne twierdzenia, dające się wyrazić w języku dowolnego modelu danej aksjomatyki, których prawdziwości nie da się rozstrzygnąć na podstawie tego zestawu aksjomatów. Przykładowo geometria euklidesowa była pierwotnie zaksjomatyzowana przez Euklidesa, okazało się jednak, że jego aksjomatyka była zbyt uboga i nie pozwalała udowodnić pewnych prawdziwych twierdzeń geometrycznych (np. twierdzenia Desarguesa i twierdzenia Pappusa). Powstała kolejna aksjomatyka, tzw. aksjomatyka Hilberta.

Z powodów praktycznych aksjomatów powinno być na tyle dużo, aby prawdziwość wszelkich "ważnych" twierdzeń danej teorii dało się rozstrzygnąć na ich podstawie. Kryterium "ważności" jest tu subiektywne - teoria, w której żadne zdanie nie daje się rozstrzygnąć, jest formalnie poprawna, lecz bezużyteczna. Nie musi to oznaczać rozstrzygalności wszystkich możliwych twierdzeń danej teorii, choć byłby to stan idealny; Twierdzenie Gödla mówi jednak, że nawet dla tak prostej teorii jak arytmetyka istnieją twierdzenia, których nie da się wyprowadzić z jej aksjomatów. Co więcej - nie da się uzupełnić zbioru aksjomatów arytmetyki skończoną liczbą nowych aksjomatów, tak aby był już do tego wystarczający.

[edytuj] Kategoryczność

Aksjomatykę nazywamy kategoryczną, jeśli wszystkie jej modele są izomorficzne. Oznacza to, że dany zestaw aksjomatów jednoznacznie określa wszystkie cechy definiowanych obiektów. Jeśli aksjomatyka nie jest kategoryczna, można zbudować dwa różne modele, które będą ją spełniały, jednak będą się różnić właściwościami, dającymi się opisać w języku danej teorii.

[edytuj] Historia

Pierwszym uczonym postulującym stosowanie aksjomatycznej budowy teorii matematycznych był Platon. Pierwszą prawdziwą aksjomatyką było pięć aksjomatów Euklidesa podanych w Elementach.

Podwaliny teorii modeli i tym samym nowe ujęcie logiki matematycznej położyli w latach 30. XX wieku Alfred Tarski i Kurt Gödel.

Przypisy

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• aksjomat indukcji (w rzeczywistości jest to zbiór nieskończenie wielu aksjomatów arytmetyki, lub aksjomat metateorii arytmetyki)
• aksjomat wyboru
• aksjomat ciągłości
• aksjomaty teorii mnogości
• aksjomat Archimedesa
• aksjomatyka Hilberta
• aksjomat klasycznego rachunku predykatów
• a priori
• aksjomat polityczny