Krzywa

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Spis treści

1 Intuicyjne wymagania
2 Definicja
3 Wcześniejsze pojęcia krzywej
4 Zobacz też

Krzywa – pojęcie matematyczne, jedno z fundamentalnych pojęć takich dziedzin jak geometria, geometria różniczkowa stosowane również w mowie potocznej.

[edytuj] Intuicyjne wymagania

Pomimo intuicyjnej prostoty pojęcie to jest bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania. Od poprawnej definicji wymaga się, aby była to „dowolna linia” na płaszczyźnie lub w przestrzeni, w tym także linia prosta, która w szczególności mogłaby rozgałęziać się i przerywać.

[edytuj] Definicja

Krzywą zwartą nazywamy continuum o wymiarze 1, czyli continuum w którym dla każdego jego punktu, i dowolnego otoczenia tego punktu, istnieje pewne otoczenie tegoż punktu, zawarte w poprzednim, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum złożonego z więcej niż jednego punktu. Innymi słowy: każdy punkt ma dowolnie małe otoczenia o 0-wymiarowym brzegu.

[edytuj] Wcześniejsze pojęcia krzywej

Podana wyżej definicja pochodzi z lat 20. XX wieku, jednak krzywą próbowano zdefiniować już od starożytności:

Komentatorzy Euklidesa określali ją jako „długość bez szerokości” oraz „ograniczenie powierzchni”. Nie są to jednak definicje w sensie matematycznym.
Kartezjusz definiował krzywą jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Definicja ta nie obejmuje wszystkich przypadków.
Camille Jordan w XIX wieku zdefiniował krzywą jako zbiór punktów $\left(\varphi(t), \psi(t)\right)$ , gdzie $\varphi$ i $ψ$ są funkcjami ciągłymi, zaś $t$ jest parametrem przebiegającym przedział liczb rzeczywistych. Innymi słowy krzywa Jordana jest to obraz przedziału (równoważnie: odcinka) w odwzorowaniu ciągłym. Okazało się wszakże, że definicja ta jest zbyt szeroka. W 1890 roku Giuseppe Peano pokazał, że do tej definicji pasuje również kwadrat wraz z wnętrzem (tzw. krzywa Peano).
Ważne klasy krzywych definiuje się nakładając dodatkowe warunki na funkcje $\varphi$ i $ψ$ , na przykład dla funkcji różniczkowalnych dostajemy łuk regularny, a dla przedziałami liniowych - linię łamaną.
Kolejna definicja określała krzywą jako sumę skończonej liczby łuków, z których żadne dwa nie mają wspólnych punktów oprócz swych końców. Okazało się jednak, że definicja ta nie obejmuje niektórych przypadków, np.

$\left\{(x, y): y = \sin~\tfrac{2\pi}{x}, 0 < x \le 1\right\}$ z dołączonym odcinkiem $\left\{(x, y): x = 0, -1 \le y \le 1\right\}$ .
Georg Cantor pod koniec XIX wieku podał następującą definicję: krzywa płaska to takie continuum na płaszczyźnie, które nie zawiera żadnego koła o dodatnim promieniu (przez koło rozumie się figurę 2-wymiarową, a nie sam brzegowy okrąg).
W końcu w latach 20. XX wieku rosyjski matematyk Paweł Urysohn sformułował definicję podaną na początku artykułu. W przypadku płaszczyzny jest ona równoważna definicji podanej przez Cantora.