Teoria PCF

Z Wikipedii

Teoria pcf – dział teorii mnogości blisko związany z arytmetyką liczb kardynalnych. Skrót pcf pochodzi od angielskiego zwrotu possible cofinalities (możliwe współkońcowości), który odzwierciedla jeden z centralnych obiektów rozważanych w tej teorii – zbiór współkońcowości pewnych zredukowanych porządków produktowych.

Teoria ta została stworzona przez izraelskiego matematyka Saharona Shelaha w latach 80. XX wieku i po dzień dzisiejszy jest rozwijana głównie przez niego. Wyniki tej teorii demonstrują, że pomimo dużej kolekcji twierdzeń niezależnościowych w arytmetyce liczb kardynalnych, wciąż można dowieść wielu własności w ZFC, o ile zadajemy właściwe pytania. Z teorii pcf można także wywnioskować nowe prawa klasycznej arytmetyki liczb kardynalnych.

Spis treści

1 Rys historyczny
2 Podstawowe pojęcia
- 2.1 Pojęcia wstępne
- 2.2 Wybrane definicje z teorii pcf
3 Przykładowe twierdzenia teorii pcf
4 Bibliografia
5 Zobacz też

[edytuj] Rys historyczny

W 1970, rozwijając metodę forsingu, William Easton^[1] udowodnił następujące twierdzenie. Przypuśćmy, że F jest rosnącą funkcją określoną na wszystkich regularnych liczbach kardynalnych, której wartościami są nieskończone liczby kardynalne i taką, że $\kappa<{\rm cf}({\bold{F}}(\kappa))$ dla wszystkich regularnych $κ$ . Wówczas jest niesprzecznym z ZFC, że $2^\kappa={\bold{F}}(\kappa)$ dla wszystkich regularnych liczb kardynalnych $κ$ .
Twierdzenie Eastona przesunęło środek ciężkości badań w arytmetyce kardynalnej w kierunku hipotezy liczb singularnych (SCH) i jej naruszeń. SCH to zdanie stwierdzające, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej $κ$ , jeśli $2 cf(κ) < κ$ to $κ cf(κ) = κ +$ . Przy założeniu SCH, potęgi liczb kardynalnych są wyznaczone przez funkcję $\kappa\mapsto 2^\kappa$ dla liczb regularnych. Z naruszenia SCH można znaleźć pewne duże liczby kardynalne, ale też z dużych liczb można wywnioskować niesprzeczność ¬SCH.
Z wyników Karola Prikrego^[2] i Jacka Silvera wynika, że jeśli istnieje liczba super-zwarta, to istnieje pojęcie forsingu, które forsuje, że dla pewnej silnie granicznej singularnej liczby kardynalnej $κ$ mamy $κ + < 2 κ$ . Wielu matematyków zaczęło w latach 70. XX wieku podejrzewać, że w arytmetyce liczb kardynalnych wszystkie twierdzenia ZFC są już odkryte i wszystko, co nie jest przez te stwierdzenia zdeterminowane, jest niezależne od ZFC (być może, zakładając istnienie odpowiednio dużych liczb kardynalnych).
W 1978, Shelah opublikował pracę, w której użył nowatorskich metod do budowy pewnych algebr mocy $\aleph_{\omega+1}$ ^[3]. Metody te były zwiastunem nowej teorii: teorii pcf. W kolejnych latach Shelah systematycznie prowadził badania w tym kierunku, z czasem wykazując, że ciągle jeszcze istnieją nieodkryte (i zdumiewające) twierdzenia ZFC.
W 1994 Shelah opublikował systematyczny i kompleksowy wykład teorii pcf^[4].
Czytelnik nie przyzwyczajony do bardzo trudnego stylu publikacji Shelaha, a zainteresowany głębszym zrozumieniem tej pięknej teorii, może więcej skorzystać z przeglądowego artykułu Maxa Burkego i Menachema Magidora^[5] lub monografii M. Holza, K. Steffensa i E. Weitza^[6]. Bardzo godnym polecenia jest też artykuł przeglądowy Uriego Abrahama i Menachema Magidora^[7].

[edytuj] Podstawowe pojęcia

[edytuj] Pojęcia wstępne

Przypuśćmy, że $({\mathbb P},\sqsubseteq)$ jest praporządkiem. Definiujemy współkońcowość ${\rm cf}({\mathbb P})$ praporządku ${\mathbb P}$ jako

${\rm cf}({\mathbb P})=\min\{|A|:A\subseteq{\mathbb P}\ \wedge\ (\forall p\in {\mathbb P})(\exists a\in A)(p\sqsubseteq a)\}$ .

Przypuśćmy, że S jest niepustym zbiorem i dla $s\in S$ mamy daną liczbę porządkową $\delta_s\in {\bold{ON}}$ . Dalej przypuśćmy, że I jest ideałem podzbiorów zbioru S. Definiujemy praporządek $\leq_I$ na $\prod\limits_{s\in S}\delta_s$ przez

$f\leq_I g$ wtedy i tylko wtedy gdy $\{s\in S: f(s)>g(s)\}\in I$ .

[edytuj] Wybrane definicje z teorii pcf

Dla liczb kardynalnych $\kappa\geq\lambda\geq\mu$ określamy współczynnik pokryciowy $cov(κ,λ,μ)$ jako najmniejszą możliwą moc rodziny ${\mathcal A}\subseteq [\kappa]^{<\lambda}$ (czyli elementy rodziny ${\mathcal A}$ są podzbiorami zbioru $κ$ mocy mniejszej niż $λ$ ) takiej, że

$(\forall B\in [\kappa]^{<\mu})(\exists A\in {\mathcal A})(B\subseteq A)$ .

Niech ${\mathfrak a}$ będzie niepustym zbiorem regularnych liczb kardynalnych. Określamy:

$\prod {\mathfrak a}=\prod_{\kappa\in {\mathfrak a}}\kappa$ jest zbiorem wszyskich takich funkcji $f:{\mathfrak a}\longrightarrow {\bold{ON}}$ że $(\forall\kappa\in {\mathfrak a})(f(\kappa)<\kappa)$ ;
jeśli I jest ideałem na ${\mathfrak a}$ , to $\prod {\mathfrak a}/I$ oznacza porządek częściowy otrzymany w kanoniczny sposób z praporządku $\leq_I$ na $\prod {\mathfrak a}$ ;
${\rm pcf}({\mathfrak a})=\{{\rm cf}\left(\prod {\mathfrak a}/I\right):I$ jest ideałem maksymalnym na ${\mathfrak a}\}$ .

Niech $λ$ będzie singularną liczbą kardynalną. Zdefiniujmy zbiór $P λ$ jako

$\{{\rm cf}\left(\prod {\mathfrak a}/I\right):{\mathfrak a}\subseteq\lambda$ jest zbiorem liczb regularnych, $\sup({\mathfrak a})=\lambda$ , $|{\mathfrak a}|={\rm cf}(\lambda)$ oraz

I

jest maksymalnym ideałem na ${\mathfrak a}$ zawierającym wszystkie ograniczone podzbiory ${\mathfrak a}\}$ .

Kładziemy ${\rm pp}(\lambda)=\sup(P^\lambda)$ .

[edytuj] Przykładowe twierdzenia teorii pcf

Przypuśćmy, że $δ$ jest graniczną liczbą porządkową oraz że $\delta<\aleph_\delta$ (czyli $δ$ nie jest punktem stałym skali alefów). Wówczas ${\rm cov}(\aleph_\delta,|\delta|^+,{\rm cf}(\delta)^+)<\aleph_{(|\delta|^{{\rm cf}(\delta)})^+}$ a stąd $\aleph_\delta^{{\rm cf}(\delta)}<\aleph_{(|\delta|^{{\rm cf}(\delta)})^+}$ .

Na przykład, $\aleph_\omega ^{\aleph_0} < \aleph_{{\mathfrak c}^+}$ (gdzie ${\mathfrak c} = 2^{\aleph_0}$ ).

Jeśli jest przedziałem liczb regularnych i , to jest również przedziałem liczb regularnych, który zawiera element największy oraz i też
- Hipoteza PCF mówi, że nawet $\left|{\rm pcf}({\mathfrak a})\right|\le {|{\mathfrak a}|}$ jeśli ${\mathfrak a}$ jest przedziałem liczb regularnych i $\sup{\mathfrak a} = \delta < \aleph_\delta$ .
Jeśli $κ$ jest nieskończoną liczbą kardynalną, $λ = κ + α$ , $1\leq\alpha<\kappa$ , to ${\rm cf}\left([\lambda]^{\leq\kappa},\subseteq\right)=\max\left({\rm pcf}(\{\kappa^{+(\beta+1)}:\beta<\alpha\})\right)$ .
Z powyższych wyników możemy wywnioskować np., że:

(a) jeśli $\delta<\aleph_\delta$ gdzie

δ

jest graniczną liczbą porządkową, to ${\rm cf}\left([\aleph_\delta]^{|\delta|},\subseteq\right)<\aleph_{|\delta|^{+4}}$ ,

(b) jeśli $|\delta|^{{\rm cf}(\delta)}<\aleph_\delta$ gdzie

δ

jest graniczną liczbą porządkową, to $\aleph_\delta^{{\rm cf}(\delta)}<\aleph_{|\delta|^{+4}}$ .

W szczególności, jeśli $2^{\aleph_0}<\aleph_\omega$ , to $\aleph_\omega^{\aleph_0}<\aleph_{\omega_4}$ .
Jeśli hipoteza pcf jest prawdziwa, to nawet $\aleph_\omega^{\aleph_0}<\aleph_{\omega_1}$ .

Jeśli $\aleph_1\leq{\rm cf}(\kappa)<\kappa$ oraz zbiór $\{\lambda<\kappa:\,{\rm pp}(\lambda)=\lambda^+\}$ jest stacjonarny w $κ$ , to $pp(κ) = κ +$ .

Powszechnie znaną (choć niekoniecznie popieraną) tezą Shelaha jest, że jeśli zinterpretujemy właściwie pierwszy problem Hilberta (używając podejścia motywowanego przez teorię PCF), to ma on odpowiedź pozytywną^[8]. Podstawą do tej tezy jest następujące twierdzenie nazywane revised GCH.

Dla liczb kardynalnych

λ,κ

określamy

$\lambda^{[\kappa]}=\min\{|{\mathcal P}|:{\mathcal P}\subseteq [\lambda]^{\leq\kappa}$ oraz dla każdego zbioru $A\subseteq\lambda$ mocy

κ

można znaleć zbiór ${\mathcal A}\subseteq {\mathcal P}$ taki że $|{\mathcal A}|<\kappa$ oraz $A=\bigcup{\mathcal A}\ \}$ .

Revised GCH: Jeśli $μ$ jest silnie graniczną liczbą nieprzeliczalną, to dla każdej liczby kardynalnej $\lambda\geq\mu$ można znaleźć $κ 0 < μ$ takie, że

κ 0 < κ < μ

implikuje

λ [κ] = λ

[edytuj] Bibliografia

↑ Easton, William B.: Powers of regular cardinals. "Ann. Math. Logic" 1 (1970), s. 139-178.
↑ Prikry, Karel L.: Changing measurable into accessible cardinals. "Dissertationes Math. / Rozprawy Mat." 68 (1970).
↑ Shelah, Saharon: Jonsson algebras in successor cardinals. "Israel J. Math." 30 (1978), s. 57-64.
↑ Shelah, Saharon: Cardinal arithmetic. "Oxford Logic Guides", 29. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994. ISBN 0-19-853785-9
↑ Burke, Maxim R.; Magidor, Menachem: Shelah's pcf theory and its applications. "Ann. Pure Appl. Logic" 50 (1990), s. 207-254.
↑ Holz, M.; Steffens, K.; Weitz, E.: Introduction to cardinal arithmetic. "Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher". Birkhäuser Verlag, Basel, 1999. ISBN 3-7643-6124-7.
↑ Abraham, Uri; Magidor, Menachem: Cardinal Arithmetic, w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronach pierwszego autora.
↑ Shelah, Saharon: The generalized continuum hypothesis revisited. "Israel J. Math." 116 (2000), s. 285-321.

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Liczby kardynalne

We provide Linux to the World

Teoria PCF

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Rys historyczny

[edytuj] Podstawowe pojęcia

[edytuj] Pojęcia wstępne

[edytuj] Wybrane definicje z teorii pcf

[edytuj] Przykładowe twierdzenia teorii pcf

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach