Pojęcie forsingu

Z Wikipedii

Pojęcie forsingu – praporządek używany w teorii forsingu i jej zastosowaniach.

Jeśli $({\mathbb P},\leq)$ jest pojęciem forsingu, to elementy zbioru ${\mathbb P}$ są nazywane warunkami, a dla $p,q\in {\mathbb P}$ takich że $q\leq p$ mówimy że warunek $q$ jest silniejszy niż warunek $p$ . Ponieważ część matematyków używa odwrotnej notacji (głównie Saharon Shelah i jego współpracownicy), to zwyczajowo przyjmuje się konwencję alfabetyczną: warunki silniejsze są oznaczane przez późniejsze litery alfabetu.

Gdy nie istnieje warunek silniejszy od każdego z dwóch warunków q oraz r, to mówimy, że te dwa warunki są sprzeczne.

W artykule o forsingu, teoria leżąca u jego podstaw jest rozwinięta w oparciu o zupełne algebry Boole'a, jednak często rozwija się tę teorię bazując całkowicie na pojęciach forsingu^[1].

[edytuj] Związek z zupełnymi algebrami Boole'a

Każde pojęcie forsingu jest bardzo blisko związane z pewną zupełną algebrą Boole'a. Aby przedstawić ten związek, musimy wprowadzić algebry Boole'a regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni topologicznej.

Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór $U\subseteq X$ jest regularnie otwarty jeśli $int(cl(U)) = U$ (gdzie int jest operacją wnętrza zbioru a cl oznacza operację domknięcia). Na rodzinie $RO(X)$ wszystkich regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni X wprowadzamy operacje +, · oraz ∼ przez:

$U+V={\rm int}({\rm cl}(U\cup V))$ , $U\cdot V=U\cap V$ oraz $\sim U=X\setminus {\rm cl}(U)$ .

Wówczas $({\rm RO}(X),+,\cdot,\sim,\emptyset,X)$ jest zupełną algebrą Boole'a.

Powiemy, że porządek częściowy $({\mathbb P},\leq)$ jest separatywny jeśli dla każdych warunków $p,q\in {\mathbb P}$ takich że $q\not\leq p$ można znaleźć warunek $r\in {\mathbb P}$ który jest silniejszy niż q (tzn $r\leq q$ ) oraz sprzeczny z p (tzn nie ma żadnego warunku $s\in {\mathbb P}$ który by spełniał jednocześnie $s\leq p$ oraz $s\leq r$ ).

Przypuśćmy teraz, że $({\mathbb P},\leq)$ jest separatywnym porządkiem częściowym. Dla $p\in {\mathbb P}$ połóżmy $U_p=\{q\in {\mathbb P}:q\leq p\}$ . Wówczas rodzina $\{U_p:p\in {\mathbb P}\}$ jest bazą pewnej topologii τ na zbiorze ${\mathbb P}$ . Każdy zbiór $U p$ jest regularnie otwarty w tej topologii a odwzorowanie

$p\mapsto U_p:{\mathbb P}\longrightarrow {\rm RO}({\mathbb P})$

jest zanurzeniem porządkowym którego obraz jest gęstym podzbiorem algebry ${\rm RO}({\mathbb P})$ (tzn każdy niepusty regularnie otwarty podzbiór ${\mathbb P}$ zawiera pewien zbiór $U p$ ( $p\in {\mathbb P}$ )).

Tak więc każdy separatywny porządek częściowy może być traktowany jako gęsty podzbiór pewnej zupełnej algebry Boole'a. (Algebra ta jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu identycznościowego na ${\mathbb P}$ .)

W ogólnym przypadku pojęć forsingu (czyli praporządków), dokonuje się najpierw pewnych utożsamień aby otrzymać separatywny porządek częściowy.

[edytuj] Przykłady pojęć forsingu

Rodzina pojęć forsingu stosowanych w teorii mnogości jest olbrzymia. Duża część publikacji prezentujących nowe wyniki niezależnościowe wprowadza też nowe pojęcia forsingu używane w dowodach. Poniżej dajemy przykłady jednych ze starszych pojęć forsingu.

Forsing Cohena^[2]:

warunkami są skończone ciągi p liczb naturalnych,

porządkiem jest odwrotna relacja przedłużania ciągów (czyli $q\leq p$ wtedy i tylko wtedy gdy $p\trianglelefteq q$ );

powyżej, symbol $\trianglelefteq$ oznacza relację wydłużania ciągów. Jeśli ciągi są traktowane jako funkcje to relacja ta jest relacją zawierania (i $\trianglelefteq \ =\ \subseteq$ ).

Algebra Boole'a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa ${\mathcal B}/{\mathcal K}$ , gdzie ${\mathcal B}$ jest $σ$ -ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej ${\mathbb R}$ a ${\mathcal K}$ jest rodziną wszystkich zbiorów $A\in {\mathcal B}$ które są pierwszej kategorii.

Forsing Solovaya^[3]:

warunkami są te domknięte podzbiory ${\mathbb R}$ które mają dodatnią miarę Lebesgue'a,

porządkiem jest relacja zawierania (tzn $q\leq p$ wtedy i tylko wtedy gdy $q\subseteq p$ ).

Algebra Boole'a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa ${\mathcal B}/{\mathcal L}$ , gdzie ${\mathcal B}$ jest $σ$ -ciałem borelowskich podzbiorów ${\mathbb R}$ a ${\mathcal L}$ jest rodziną tych zbiorów $A\in {\mathcal B}$ które są miary zero.

Forsing Lavera^[4]:

warunkami są zbiory

T

skończonych ciągów liczb naturalnych takie że

(a) $(\forall t\in T)(\forall n)(t{\upharpoonright} n\in T)$ oraz

(b) $(\exists s\in T)(\forall t\in T)([s\subseteq t\ \vee t\subseteq s]\ \wedge\ [s\subseteq t\ \Rightarrow\ \{n\in {\mathbb N}:t^\frown\langle n\rangle\in T\}$ jest nieskończony]).

porządkiem jest relacja zawierania (tzn $T\leq S$ wtedy i tylko wtedy gdy $T\subseteq S$ ).

Forsing Mathiasa^[5]:

warunkami są pary

(w, A)

takie, że

w

jest skończonym zbiorem liczb naturalych,

A

jest nieskończonym zbiorem liczb naturalnych oraz

max(w) < min(A)

porządek jest zdefiniowany przez $(w',A')\leq (w,A)$ wtedy i tylko wtedy gdy $w\subseteq w'$ , $A'\subseteq A$ oraz $w'\setminus w\subseteq A$ .

Forsing Hechlera:

warunkami są pary

(n, f)

takie, że

n

jest liczbą naturalną, a $f:\mathbb N \to \mathbb N$ jest funkcją.

porządek jest zdefiniowany przez $(n',f')\le (n,f)$ wtedy i tylko wtedy gdy $n\le n'$ , $f(k)\le f'(k)$ dla każdego

k

, i $f{\upharpoonright} n = f'{\upharpoonright} n$

Forsing Sacksa:

warunkami są doskonałe podzbiory prostej rzeczywistej ${\mathbb R}$ ,

porządkiem jest relacja zawierania.

[edytuj] Rozważane własności

W teorii forsingu rozważa się szereg własności pojęć forsingu które mają wpływ na własności odpowiadającym im rozszerzeń generycznych modeli teorii mnogości. Poniżej wymieniamy parę najbardziej znanych własności tego typu.

Niech $κ$ będzie liczbą kardynalną. Powiemy że pojęcie forsingu $({\mathbb P},\leq)$ spełnia $κ$ -cc jeśli każdy antyłańcuch w ${\mathbb P}$ jest mocy mniejszej niż $κ$ . Jeśli ${\mathbb P}$ spełnia $\aleph_1$ -cc to mówimy wtedy też że ${\mathbb P}$ spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo ${\mathbb P}$ spełnia ccc ("countable chain condition")
Dla liczby kardynalnej κ, powiemy że pojęcie forsingu $({\mathbb P},\leq)$ jest $( < κ)$ -domknięte jeśli każdy łańcuch w ${\mathbb P}$ mocy mniejszej niż $κ$ ma ograniczenie dolne.
Niech $χ$ będzie regularną liczbą kardynalną a ${\mathcal H}(\chi)$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $χ$ . Przypuśćmy, że ${\mathbb P}$ jest pojęciem forsingu a $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal H}(\chi),\in)$ takim, że ${\mathbb P}\in N$ . Powiemy, że warunek $q\in {\mathbb P}$ jest warunkiem $(N,{\mathbb P})$ -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha ${\mathcal A}\subseteq {\mathbb P}$ który należy do modelu $N$ mamy

dla każdego $r\in {\mathcal A}$ , jeśli

r, q

są niesprzeczne, to $r\in N.$

(Przypomnijmy, że warunki

r, q

są niesprzeczne jeśli istnieje warunek $s\in {\mathbb P}$ silniejszy niż oba te warunki.)

Pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper^[6]^[7], jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej

χ

istnieje $x\in {\mathcal H}(\chi)$ taki, że:

jeśli

N

jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal H}(\chi),\in)$ , ${\mathbb P},x\in N$ oraz $p\in {\mathbb P}\cap N$ ,

to istnieje warunek $q\leq p$ który jest $(N,{\mathbb P})$ -generyczny.

[edytuj] Bibliografia

↑ John P. Burgess: Forcing. [w:] Handbook of mathematical logic. [pod red.] Jona Barwise'a. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", Vol. 90. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. ISBN 0-7204-2285-X.
↑ Cohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1966.
↑ Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. "Ann. of Math." (2) 92 1970 s.1-56.
↑ Laver, Richard: On the consistency of Borel's conjecture. "Acta Math." 137 (1976), no. 3-4, s. 151-169.
↑ Mathias, A.R.D.: Happy families. "Ann. Math. Logic" 12 (1977), no. 1, s. 59-111.
↑ Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.
↑ Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). "Israel Math. Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360.