Twierdzenie Cevy

Z Wikipedii

Przypadek 1.: trzy proste mają wspólny punkt O wewnątrz ABC

Przypadek 1.: trzy proste mają wspólny punkt O zewnątrz ABC

Twierdzenie Cevy – twierdzenie geometrii płaskiej sformułowane i udowodnione przez matematyka włoskiego Giovanniego Cevę w 1678 roku. Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe i także zostało udowodnione przez Cevę. Jego uogólnieniem jest twierdzenie Ponceleta.

[edytuj] Treść

Jeżeli trzy proste $A D, B E$ i $C F$ przechodzące przez wierzchołki trójkąta $A B C$ przecinają się w jednym punkcie to,:

$\frac{|AF|}{|FB|} \cdot \frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{|CE|}{|EA|} = 1$

Na drugim z rysunków będących ilustracjami twierdzenia widać, iż punkt przecięcia się prostych $O$ może leżeć poza trójkątem.

[edytuj] Dowód

Przyjmijmy, że:

$x = \frac{|BD|}{|DC|},\;y = \frac{|CE|}{|EA|},\; z = \frac{|AF|}{|FB|}$

Wtedy:

$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{P_{\Delta ADB}}{P_{\Delta ADC}}$

oraz

$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{P_{\Delta ODB}}{P_{\Delta ODC}}$

Z tego wynika, że

$x = \frac{P_{\Delta AOB}}{P_{\Delta AOC}}$

Analogicznie:

$y = \frac{P_{\Delta COB}}{P_{\Delta AOB}}$

$z = \frac{P_{\Delta AOC}}{P_{\Delta COB}}$

Zatem:

$x\cdot y\cdot z = \frac{P_{\Delta AOB}}{P_{\Delta AOC}}\cdot \frac{P_{\Delta COB}}{P_{\Delta AOB}}\cdot \frac{P_{\Delta AOC}}{P_{\Delta COB}}$

Po skróceniu otrzymujemy:

$x\cdot y\cdot z = 1$ ,

ale

$x\cdot y\cdot z = \frac{|AF|}{|FB|} \cdot \frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{|CE|}{|EA|}$

więc:

$\frac{|AF|}{|FB|} \cdot \frac{|BD|}{|DC|} \cdot \frac{|CE|}{|EA|} = 1$

[edytuj] Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cevy jest prawdziwe. Załóżmy, że punkty $D$ , $E$ i $F$ spełniają powyższe równanie. Niech $A D$ i $B E$ przecinają się w $O$ i niech $C O$ przecina $A B$ w $F'$ . Z udowodnionej przed chwilą implikacji,

$\frac{AF'}{F'B} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$ .

Z porównania dwóch ostatnich równań jest

$\frac{AF'}{F'B} = \frac{AF}{FB}$ .

Po dodaniu jedynki do obu stron i wykorzystaniu równości $A F' + F' B = A F + F B = A B$ , zachodzi

$\frac{AB}{F\ 'B} = \frac{AB}{FB}$ .

A więc $F' B = F B$ , czyli $F$ i $F'$ pokrywają się (ponieważ na wspólnej półprostej $A B$ o początku w $B$ ). A więc $A D$ , $B E$ i $C F = C F'$ przecinają się w $O$ .

[edytuj] Zastosowania

Twierdzenie Cevy i doń odwrotne mają wiele zastosowań w geometrii. Na przykład za pomocą twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy można łatwo dowieść, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się wysokości, środkowe, dwusieczne.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Trójkąty • Twierdzenia matematyczne

We provide Linux to the World

Twierdzenie Cevy

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Treść

[edytuj] Dowód

[edytuj] Twierdzenie odwrotne

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach