Twierdzenie Menelaosa

Z Wikipedii

Twierdzenie Menelaosa (Menelausa) – twierdzenie geometrii płaskiej pochodzące od Menelaosa z Aleksandrii, choć znane było już przed nim. Jest przydatne przy wykazywaniu współliniowości punktów (tzn. że leżą one na wspólnej prostej).

Spis treści

1 Treść
2 Dowód
3 Twierdzenie odwrotne
- 3.1 Dowód
4 Zobacz też

[edytuj] Treść

Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta $\triangle ABC$ i przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich boków) punkty $D, E, F$ w ten sposób, że iloczyn długości trzech do siebie nieprzyległych odcinków jest równy iloczynowi długości trzech pozostałych, czyli

$|AE| \cdot |CD| \cdot |BF| = |BD| \cdot |AF| \cdot |CE|$ .

Zapamiętanie twierdzenia ułatwia również sztuczka mnemotechniczna polecająca kolejnym przechodzeniu od wierzchołka trójkąta (poczynając od dowolnie ustalonego) do punktu przecięcia poprzecznej na boku (przedłużeniu) zawierającym ten punkt do kolejnego wierzchołka i wróceniu w ten sposób do punktu wyjścia:

$A \to E \to C \to D \to B \to F \to A$ skrótowo zapisywane zwykle jako

A E C D B F A

co pomaga w zapamiętaniu, które z odcinków winny znaleźć się w liczniku, a które w mianowniku:

$\frac{|AE|}{|EC|} \cdot \frac{|CD|}{|DB|} \cdot \frac{|BF|}{|FA|} = 1$ .

Ostatnia równość jest inną postacią twierdzenia.

[edytuj] Dowód

Niech $X$ będzie przecięciem prostej równoległej do $A C$ przechodzącej przez punkt $B$ z poprzeczną. Trójkąty $\triangle XBF$ i $\triangle EAF$ są podobne. Z twierdzenia Talesa:

$\frac{|BX|}{|AE|} = \frac{|BF|}{|FA|}$ czyli $|XB|=\frac{|BF|}{|FA|} \cdot |AE|$

Trójkąty $\triangle CED$ i $\triangle BXD$ są podobne. Zatem jest:

$\frac{|CE|}{|XB|} = \frac{|DC|}{|DB|}$ czyli $\frac{1}{|XB|}=\frac{|DC|}{|DB|} \cdot \frac{1}{|CE|}$

Po pomnożeniu stronami otrzymanych równości prawdziwa jest równość

$1=\frac{|BF|}{|FA|} \cdot \frac{|DC|}{|DB|} \cdot \frac{|AE|}{|CE|}$ ,

co kończy dowód. W przypadku, gdy wszystkie punkty $D, E, F$ leżą na przedłużeniach boków trójkąta, rozumowanie jest analogiczne.

[edytuj] Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Menelaosa również jest prawdziwe:

Jeżeli na bokach

A B

B C

trójkąta $\triangle ABC$ dane są punkty

E

D

, a na przedłużeniu boku

A C

punkt

F

tak, że:

$|AE| \cdot |CD| \cdot |BF| = |BD| \cdot |AF| \cdot |CE|$ ,

to punkty

D, E, F

są współliniowe.

Analogicznie, gdy wszystkie punkty $D, E, F$ leżą na przedłużeniach odpowiednich boków.

[edytuj] Dowód

Dowód nie wprost: niech dla pewnych niewspółliniowych punktów zachodzi

$|AE| \cdot |CD| \cdot |BF| = |BD| \cdot |AF| \cdot |CE|$ (1)

oraz $D, E$ leżą na bokach trójkąta, zaś $F$ na prostej $A B$ poza bokiem.

Wtedy można wybrać taki punkt $F' \ne F$ , że $D, E, F'$ są współliniowe. Wtedy z twierdzenia Menelaosa zachodzi

$|AE| \cdot |CD| \cdot |BF'| = |BD| \cdot |AF'| \cdot |CE|$ .

Zatem dla dwóch różnych punktów $F, F'$ leżących na prostej $A B$ poza odcinkiem $A B$ zachodzi

$\frac{|AF'|}{|BF'|}=\frac{|AF|}{|BF|}$ ,

co jest sprzeczne.

Dlatego jeżeli punkty $D, E, F$ spełniają równość (1), to są współliniowe. Gdy wszystkie trzy punkty leżą poza bokami trójkąta, to dowód jest analogiczny.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Trójkąty • Twierdzenia matematyczne

We provide Linux to the World

Twierdzenie Menelaosa

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Treść

[edytuj] Dowód

[edytuj] Twierdzenie odwrotne

[edytuj] Dowód

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach