Twierdzenie van Aubela

Z Wikipedii

Twierdzenia van Aubela – twierdzenia geometrii płaskiej przypisywane H. H. van Aubelowi. W literaturze geometrycznej określenie twierdzenie van Aubela używane jest w odniesieniu do przynajmniej dwóch różnych wyników.

Spis treści

1 Twierdzenie van Aubela dla czworokąta
2 Twierdzenie van Aubela dla trójkąta
3 Zobacz też
4 Linki zewnętrzne

[edytuj] Twierdzenie van Aubela dla czworokąta

Twierdzenie Aubela można stosować do wszystkich czworokątów, zarówno wypukłych jak i wklęsłych

Twierdzenie

Przypuśćmy, że jest dany czworokąt $A B C D$ . Po zewnętrznej stronie każdego boku tego czworokąta zbudujmy kwadrat, otrzymując kwadraty $K A B, K B C, K C D$ i $K D A$ (takie, że odcinek $X Y$ jest bokiem kwadratu $K X Y$ ). Wówczas punkty przecięcia przekątnych kwadratów zbudowanych na przeciwległych bokach wyjściowego czworokąta wyznaczają parę odcinków równych i prostopadłych. Inaczej mówiąc, jeśli $Z A B, Z B C, Z C D, Z D A$ są środkami kwadratów $K A B, K B C, K C D, K D A$ (odpowiednio), to odcinki $Z A B Z C D$ i $Z B C Z D A$ są prostopadłe i mają tę samą długość.

[edytuj] Twierdzenie van Aubela dla trójkąta

Twierdzenie

Niech będzie dany trójkąt $\triangle ABC$ proste i niech P będzie punktem Cevy w tym trójkącie, to znaczy P jest punktem przecięcia trzech prostych łaczących wierzchołki tójkąta z przeciwległymi bokami (lub ich przedłużeniami). Niech proste te będą oznaczone $A A 1$ , $B B 1$ i $C C 1$ , gdzie $A_{1} \in \overline{BC}$ , $B_{1} \in \overline{AC}$ , $C_{1} \in \overline{AB}$ . Wówczas

$\frac{AP}{PA_{1}}=\frac{AC_{1}}{C_{1}B}+\frac{AB_{1}}{B_{1}C}$ .

Dowód

Niech $P_{\triangle XYZ}$ oznacza pole trójkąta $\triangle XYZ$ . Trójkąty $\triangle ABC$ i $\triangle PBC$ mają wspólny bok, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich wysokości, a ten ostatni jest taki sam jak $\frac{AA_1}{PA_1}$ . Zachodzi więc

$\frac{AA_1}{PA_1}=\frac{P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle BCP}}$ ,

skąd wynika, że

$\frac{AP}{PA_{1}}=\frac{P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}$ .

Rozważając trójkąty $\triangle ACC_1$ i $\triangle BCC_1$ zauważamy, że mają one tę samą wysokość (opuszczoną ze wspólnego wierzchołka C), a zatem stosunek ich pól jest taki sam jak stosunek długości ich podstaw:

$\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle ACC_1}}{P_{\triangle BCC_1}}$ .

W podobny sposób otrzymujemy też

$\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle AC_1P}}{P_{\triangle BC_1P}}$ .

Zatem

$\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle ACP}+P_{\triangle AC_1P}}{P_{\triangle BCP}+P_{\triangle BC_1P}}=\frac{P_{\triangle AC_1P}}{P_{\triangle BC_1P}}$