Twierdzenie Lagrange'a (teoria grup)

Z Wikipedii

Twierdzenie Lagrange'a – twierdzenie teorii grup mówiące, że w grupie skończonej rząd dowolnej jej podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy.

Dokładniej, zachodzi równość

gdzie oznacza liczbę warstw grupy względem jej podgrupy , zaś odpowiednio rząd grupy i podgrupy.

[edytuj] Dowód

Niech G będzie grupą skończoną. Rozpatrzmy zbiór warstw lewostronnych grupy względem podgrupy . Zbiór ten stanowi rozbicie zbioru G na n = | G:H | (z definicji indeksu podgrupy) równolicznych ze zbiorem H zbiorów: .

Stąd

,

ponieważ poszczególne warstwy są rozłączne, to

,

a skoro zaś wszystkie warstwy są równoliczne z H, jest więc

,

zatem

.

[edytuj] Wnioski

• Rząd dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzędu grupy. W szczególności, dla dowolnego elementu danej grupy prawdziwa jest równość , gdzie jest jedynką grupy, a oznacza rząd grupy.
• Jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to jest ona grupą cykliczną.

[edytuj] Uwagi

• Twierdzenie Lagrange'a nie gwarantuje nam, że skoro istnieje liczba dzieląca rząd grupy, to istnieje podgrupa tego rzędu. Częściową odpowiedź na pytanie dla których z tych liczb istnieje taka podgrupa daje twierdzenie Cauchy'ego oraz twierdzenie Sylowa będące dalej idącymi jego uogólnieniami.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• indeks podgrupy.