Warstwa (teoria grup)

Z Wikipedii

Warstwa – podzbiór danej grupy wyznaczony przez jeden z jej elementów i ustaloną jej podgrupę. Warstwy są zbiorami rozłącznymi, w sumie dającymi całą grupę, dlatego zbiór warstw jest rozbiciem zbioru jej elementów.

Indeks grupy $G$ względem podgrupy $H$ to moc zbioru warstw lewostronnych podgrupy $H$ w grupie $G$ , który oznaczany jest symbolem $[G : H]$ , również $(G : H)$ lub $| G : H |$ .

[edytuj] Definicja

Niech $G$ będzie dowolną grupą, $H$ jej podgrupą. Zbiór

$gH = \{gh: h \in H\} \subseteq G$ nazywa się warstwą lewostronną względem $H$ wyznaczoną przez element $g \in G$ ,

$Hg = \{hg: h \in H\} \subseteq G$ nazywa się warstwą prawostronną względem $H$ wyznaczoną przez element $g \in G$ .

Warstwa to warstwa lewostronna lub prawostronna pewnej podgrupy w $G$ . Ponieważ $H g = g (g - 1 H g)$ , to warstwy prawostronne $H g$ (względem $H$ ) i warstwy lewostronne $g (g - 1 H g)$ (względem podgrupy sprzężonej $g - 1 H g$ ) są równe. Dlatego mylące może być mówienie o warstwach lewostronnych czy prawostronnych bez wskazania podgrupy, względem której została ona określona.

Równoważnie warstwy lewostronne można zadać za pomocą relacji równoważności. Niech $\sim$ będzie relację dwuczłonową określoną na $G$ wzorem

$a \sim b \iff a^{-1}b \in H$ .

Relacja ta jest równoważnością, a jej klasy abstrakcji są warstwami lewostronnymi względem podgrupy $H$ . Podobnie, przez wprowadzenie relacji $\backsim$ , można definiować warstwy prawostronne:

$a \backsim b \iff ab^{-1} \in H$ .

W grupach przemiennych zapisywanych w notacji addytywnej warstwy oznacza się symbolami $g + H$ oraz $H + g$ . Ogólniej, jeśli działanie grupowe oznaczane jest symbolem $\circledast$ , to warstwy tej grupy zapisuje się jako $g \circledast H$ oraz $H \circledast g$ .

[edytuj] Własności i wnioski

Niech $H$ będzie podgrupą grupy $G$ .

Równość $g H = H$ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $g \in H$ .
Każde dwie warstwy lewostronne względem $H$ są równe bądź rozłączne.
Zbiór wszystkich warstw lewostronnych (względem $H$ ) jest partycją zbioru $G$ . W szczególności, każdy element grupy $G$ należy do wyłącznie jednej warstwy lewostronnej. Ponieważ element neutralny leży w dokładnie jednej warstwie, mianowicie $H$ , to wyłącznie ona tworzy podgrupę.
Przypuśćmy, że $g\in G$ . Odwzorowanie

$f\colon H \to gH,\; h \mapsto gh$

jest bijekcją zbioru

H

i warstwy lewostronnej

g H

. Zatem dowolne dwie warstwy lewostronne względem podgrupy

H

są równoliczne (mają tę samą moc, w przypadku skończonym – tyle samo elementów).

Moc zbioru warstw lewostronnych jest nazywana indeksem $G$ względem $H$ , co oznacza się $[G : H]$ bądź $(G : H)$ lub $| G : H |$ . Twierdzenie Lagrange'a umożliwia wyznaczenie indeksu, jeśli $G$ i $H$ są skończone:

$|G| = [G : H] \cdot |H|$ .

Analogiczne stwierdzenia są też prawdziwe dla warstw prawostronnych.

[edytuj] Normalność

Zobacz więcej w osobnym artykule: podgrupa normalna.

Jeżeli podgrupa $H$ nie jest normalna, to jej warstwy lewostronne różnią się od prawostronnych, czyli istnieje $a \in G$ taki, że żaden element $b$ nie spełnia $a H = H b$ . Oznacza to, że podział $G$ na warstwy prawostronne względem $H$ różni się od podziału $G$ na warstwy prawostronne względem $H$ . Należy mieć na uwadze, że niektóre warstwy mogą być jednak sobie równe, np. jeżeli $a$ należy do centrum $G$ , to $a H = H a$ .

Jeśli wszystkie warstwy lewostronne względem podgrupy $H$ są także warstwami prawostronnymi względem tej podgrupy, to $H$ jest nazywane podgrupą normalną grupy $G$ (co zapisujemy $H \vartriangleleft G$ ). Tak więc podgrupa $H$ grupy $G$ jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy $g H = H g$ dla dowolnych $g \in G$ . Wówczas możemy zdefiniować działanie $\circ$ na warstwach przez