Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Z Wikipedii

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie jest twierdzeniem w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie.

Spis treści 1 Teza 2 Dowód 2.1 Sposób 1. 2.2 Sposób 2. 2.3 Sposób 3 3 Uogólnienie 3.1 Dowód uogólnienia 4 Zobacz też

[edytuj] Teza

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

.

[edytuj] Dowód

[edytuj] Sposób 1.

Z punktu A prowadzimy półprostą prostopadłą do dwusiecznej CD w punkcie O, przecina ona również przedłużenie boku BC w pewnym punkcie B'. Zauważmy, że | AO | = | OB' | i | AC | = | B'C | .

Poprowadźmy przez B' prostą równoległą do boku AB – przecina ona prostą CD w pewnym punkcie D'. Trójkąty ΔADO i ΔB'D'O są przystające, a więc | D'B' | = | AD | . Z podobieństwa trójkątów ΔDBC i ΔD'B'C wynika teraz, że:

,

czyli

[edytuj] Sposób 2.

Niech .

Na mocy twierdzenia sinusów (Snelliusa) zastosowanego do trójkątów ΔADC i ΔDBC mamy:

, a także

.

Po podzieleniu stronami powyższych równości otrzymujemy tezę: .

[edytuj] Sposób 3

Oczywistym jest, że stosunek pól trójkątów o równej wysokości równy jest stosunkowi długości ich podstaw. Stąd wynika, że . Lewą stronę można zapisać jako . Stąd , co należało wykazać.

[edytuj] Uogólnienie

Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej mówi, że jeżeli D leży na prostej BC, i punkt A na niej nie leży, to

[edytuj] Dowód uogólnienia

Spodki wysokości w trójkątach ABD i ACD z odpowiednio wierzchołków B i C oznaczmy odpowiednio jako B₁ i C₁.

Wtedy:

Ponadto zarówno kąt DB₁B, jak i DC₁C są proste, a kąty B₁DB i C₁DC są wierzchołkowe, jeśli D leży na odcinku BC, a tożsame w przeciwnym wypadku, więc trójkąty DB₁B i DC₁C są podobne, a więc:

Co kończy dowód.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki.