Twierdzenie sinusów

Z Wikipedii

Twierdzenie sinusów, wzór sinusów, twierdzenie Snelliusa

Spis treści

1 Treść twierdzenia
2 Dowód
3 Uproszczona wersja twierdzenia
- 3.1 dowod 1
- 3.2 dowod 2
4 Wnioski
5 Wzór sinusów w geometriach nieeuklidesowych
6 Twierdzenie sinusów dla sfery
7 Zobacz też

[edytuj] Treść twierdzenia

W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie.

Zależność tę można zapisać następująco:

${a \over \sin\alpha} = {b \over \sin\beta} = {c \over \sin\gamma} = 2R$ .

[edytuj] Dowód

Wystarczy udowodnić jedną z równości, np. równość ${c \over \sin\gamma} = 2R$ , gdyż dowody pozostałych są analogiczne. Podanej równości równoważna jest następująca:

${c \over 2R} = \sin\gamma$

Na trójkącie $Δ A B C$ opisujemy okrąg i rozważamy trzy przypadki.

[edytuj] Przypadek 1. $\gamma = 90^\circ$

sinγ = 1

oraz

c = 2 R

, więc równość jest spełniona.

[edytuj] Przypadek 2. $\gamma < 90^\circ$

Kreślimy średnicę $A D$ i rozważamy pomocniczy trójkąt $Δ A B D$ . Kąt $\angle{ABD}$ jest prosty, więc oznaczając kąt $\angle{ADB}$ przez $δ$ otrzymujemy

$\frac{AB}{AD}=\sin{\delta}$

Ponieważ $A B = c$ , $A D = 2 R$ oraz $δ = γ$ (są to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku), prawdziwa jest dowodzona równość.

[edytuj] Przypadek 3. $\gamma > 90^\circ$

Postępując tak jak w przypadku 2. otrzymujemy równość

${AB \over AD} = \sin\delta$

Na mocy twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg mamy $\gamma + \delta = 180^\circ$ . Zatem $\sin\gamma = \sin(180^\circ - \delta) = \sin\delta$ . Także w tym przypadku dowodzona równość okazuje się prawdziwa.

[edytuj] Uproszczona wersja twierdzenia

W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały.

${a \over \sin\alpha} = {b \over \sin\beta} = {c \over \sin\gamma}$ .

[edytuj] dowod 1

Zgodnie ze znanym wzorem na pole trójkąta:

$P = \frac{1}{2}ab\cdot sin\gamma =\frac{1}{2}bc\cdot sin\alpha =\frac{1}{2}ac\cdot sin\beta$

Dzieląc każde z wyrażeń przez $a\cdot b\cdot c$ i mnożąc przez 2 dostaniemy

$\frac{2P}{abc} = \frac{sin\gamma}{c} =\frac{sin\alpha}{a} =\frac{sin\beta}{b}$

Biorąc odwrotności każdego z wyrażeń dostaniemy tezę.

[edytuj] dowod 2

Opuśćmy wysokość z wierchołka wspólnego dla boków a,c. Wówczas

$sin \alpha = \frac{h}{c}$ oraz $sin \gamma = \frac{h}{a}$

Rugując z obu równań zmienną $h$ dostaniemy:

$c\cdot sin \alpha = a\cdot sin \gamma$

czyli, dzieląc obie strony przez $sin \alpha \cdot sin \gamma$ , dostaniemy

$\frac{c}{sin\gamma} = \frac{a}{sin\alpha}$

Zmieniając wierzchołki, z których opuszczamy wysokość dostaniemy pozostałe dwie równości.

[edytuj] Wnioski

Używając twierdzenia sinusów można udowodnić:

[edytuj] Wzór sinusów w geometriach nieeuklidesowych

Omawiane wyżej twierdzenie sinusów jest twierdzeniem geometrii euklidesowej czyli tzw. geometrii płaskiej i ma swoje odpowiedniki w geometriach nieeuklidesowych

W geometrii eliptycznej mamy wzór:

$\frac {\sin \alpha} {\sin a} = \frac {\sin \beta} {\sin b} = \frac {\sin \gamma} {\sin c}$

Tutaj a,b,c są długościami odcinków sferycznych, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Dowód pierwszego wzoru znajduje się w następnej sekcji (przeprowadzony jest w jednym z możliwych modeli tej geometrii).

Analogicznie w geometrii hiperbolicznej, przyjąwszy tzw. metrykę naturalną dostaniemy:

$\frac {\sin \alpha} {\sinh a} = \frac {\sin \beta} {\sinh b} = \frac {\sin \gamma} {\sinh c}$

Tutaj a,b,c są długościami odcinków, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Jak widać, jeśli argumentem jest długość odcinka, to zamiast sin używamy sinh.

Bardziej spójne ujęcie otrzymamy, jeśli za model geometrii hiperbolicznej przyjmiemy sferę o promieniu urojonym $i=\sqrt{-1}$ . Wtedy wzory geometrii hiperbolicznej otrzymujemy ze wzorów geometrii eliptycznej przez zamianę wszystkich długości boków $x$ na $\tfrac{x}{i}$

[edytuj] Twierdzenie sinusów dla sfery

rys.1

Jeśli a,b,c oznaczają długości odcinków sferycznych, α β, γ są kątami umieszczonymi naprzeciw boków odpowiednio a,b,c to zachodzi wzór

$\frac {\sin \alpha} {\sin a} = \frac {\sin \beta} {\sin b} = \frac {\sin \gamma} {\sin c}$

Dowód

Nazwijmy wektorem centralnym taki, który ma początek w środku sfery jednostkowej.

Długość odcinka sferycznego jest kątem między centralnymi wektorami, których końce są punktami ograniczającymi odcinek sferyczny.

Kąt między dwiema prostymi sferycznymi czyli kołami wielkimi jest kątem między płaszczyznami zawierającymi te koła wielkie, a ten z kolei jest kątem między wektorami prostopadłymi do obu tych płaszczyzn.

Jeśli mamy dwa końcowe punkty odcinka sferycznego będące końcami centralnych wektorów x,y to Iloczyn skalarny xy tych wektorów jest równy cosinusowi kąta między wektorami x, y czyli cosinusowi długości tego odcinka. Czyli

x y = cos c

x z = cos b

y z = cos a

Jeśli mamy dwa punkty na sferze będące końcami centralnych wektorów x, y to korzystając z pojęcia iloczynu wektorowego możemy wyznaczyć wektor prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na x, y jako $x \times y$ . Zgodnie z definicją długość takiego iloczynu wektorowego jest równa sinusowi kąta między wektorami x, y czyli sinusowi długości odcinka

$|x \times y| = \sin c$

$|x \times z| = \sin b$

$|y \times z| = \sin a$

Rozważmy wyrażenie:

$(z \times x) \times (x \times y)$

Z jednej strony powyższy iloczyn wektorowy ma długość równą iloczynowi długości obu czynników oraz sinusowi kąta między obu czynnikami czyli kąta między płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,z oraz płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,y. Ten ostani jest kąt jest oczywiście równy α: