Wypukła otoczka
Z Wikipedii
Wypukła otoczka (powłoka wypukła, uwypuklenie) zbioru A będącego podzbiorem przestrzeni liniowej jest to najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór wypukły zawierający A. Otoczkę wypukłą A oznacza się zwykle jako:
Przekrój dowolnej ilości zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym, więc najmniejszy zbiór wypukły zawierający A możemy zdefiniować jako przekrój wszystkich zbiorów wypukłych zawierających A. Zapisujemy to za pomocą formuły:
Spis treści |
[edytuj] Przykłady
- Powłoką wypukłą zbioru wypukłego jest ten sam zbiór.
- Dla dowolnego skończonego zbioru punktów płaszczyzny {P1, P2, ..., Pn}, gdzie powłoka wypukła tego zbioru jest wielokątem wypukłym (ewentualnie zdegenerowanym do odcinka) o wierzchołkach należących do zbioru {P1,P2,...,Pn}. Analogicznie w przestrzeni 3-wymiarowej powłoka wypukła skończonego zbioru punktów jest wielościanem wypukłym (ewentualnie zdegenerowanym do wielokąta lub odcinka).
- Powłoką wypukłą zbioru trzech punktów niewspółliniowych (takich, które nie leżą na wspólnej prostej) jest trójkąt o wierzchołkach w tych punktach.
- Otoczką wypukłą zbioru dwupunktowego {A, B} jest odcinek AB.
- W n-wymiarowej przestrzeni eukldesowej uwypukleniem zbioru punktów jest zbiór punktów o współrzędnych dodatnich, których suma jest równa 1. Zbiór taki nazywamy sympleksem. W przestrzeni 2-wymiarowej jest to odcinek, 3-wymiarowej trójkąt równoboczny, 4-wymiarowej czworościan foremny.
[edytuj] Alternatywne przedstawienie
Otoczkę wypukłą można scharakteryzować jako zbiór wszystkich wypukłych kombinacji liniowych elementów zbioru A:
[edytuj] Dowód
Oznaczmy operację tworzenia wszystkich wypukłych kombinacji liniowych elementów zbioru A przez f(A). Udowodnimy, że :. Zauważmy, że (wystarczy wziąć w definicji i ).
Wykażemy teraz, że f(A) jest zbiorem wypukłym: niech . Zatem, dla pewnych oraz dodatnich mamy
- , oraz .
Niech będą takie, że α + β = 1. Wówczas
i stąd
- .
Aby wykazać równość zbiorów postulowaną w ( * ) udowodnimy dwie inkluzje. Najpierw:
Inkluzja zachodzi ponieważ w szczególności jednym ze zbiorów M zawierających zbiór A jest f(A) zatem cześć wspólna wszystkich zbiorów wypukłych zawierających A musi się zawierać w f(A). Zatem .
Teraz inkluzja w druga stronę:
Przypuśćmy, że M jest zbiorem wypukłym takim, że . Teraz z obu stron inkluzji wykonujemy operację f otzrymując:
Ponieważ tak jest dla każdego zbioru M wiec także dla cześci wspólnej wszystkich zbiorów wypukłych M zawierających A zatem:
Stąd , a więc .