Wysokość trójkąta

Z Wikipedii

Trójkąt i jego wysokości

Wysokość trójkąta - odcinek o następujących własnościach:

jeden koniec w dowolnym wierzchołku trójkąta,
drugi koniec leżący na prostej obejmującej bok (zwany podstawą trójkąta) naprzeciwko wybranego wierzchołka
prostopadły do tej prostej.

Także długość tego odcinka.

Każdy trójkąt posiada trzy wysokości. Proste zawierające wysokości przecinają się w jednym punkcie zwanym ortocentrum.

W trójkącie ostrokątnym wszystkie wysokości należą do trójkata, w trójkącie prostokątnym, obie przyprostokątne są wysokościami tego trójkąta, w trójkącie rozwartokątnym wysokości poprowadzone z kątów ostrych, poza wierzchołkiem trójkąta, leżą poza trójkatem.

W trójkącie równobocznym wszystkie wysokości mają taką samą długość równą:

$h=\frac{a \sqrt 3}{2}$

gdzie, a to długość boku

Spis treści

1 Twierdzenie
2 Uogólnienie na geometrie nieeuklidesowe
3 Twierdzenie (dla sfery)
- 3.1 Zobacz też

[edytuj] Twierdzenie

Wszystkie trzy wysokości dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie
Dowód

Niech p będzie punktem przecięcia dwóch wysokości opuszczonych z wierzchołków a, b. Pokażemy, że prosta przechodząca przez wierzchołek c i punkt p jest prostopadła do boku ab czyli, że też jest wysokością.

Zauważmy najpierw, że

$\overrightarrow{ab} = \overrightarrow{ac}+\overrightarrow{cb}$

$\overrightarrow{cp} = \overrightarrow{cb}+\overrightarrow{bp}$

$\overrightarrow{cp} = \overrightarrow{ca}+\overrightarrow{ap}$

Korzystając w powyższych zależności dostaniemy: $\overrightarrow{cp}\circ \overrightarrow{ab} = \overrightarrow{cp}\circ (\overrightarrow{ac}+\overrightarrow{cb}) = \overrightarrow{cp}\circ \overrightarrow{ac}+ \overrightarrow{cp}\circ \overrightarrow{cb} = (\overrightarrow{cb}+\overrightarrow{bp})\circ \overrightarrow{ac}+ (\overrightarrow{ca}+\overrightarrow{ap})\circ \overrightarrow{cb} = \overrightarrow{cb}\circ \overrightarrow{ac} +\overrightarrow{bp}\circ \overrightarrow{ac} + \overrightarrow{ca}\circ \overrightarrow{cb} +\overrightarrow{ap}\circ \overrightarrow{cb}$

W ostatniej sumie składniki pierwszy i trzeci, tzn. $\overrightarrow{cb}\circ\overrightarrow{ac}$ i $\overrightarrow{ca}\circ\overrightarrow{cb}$ , wzajemnie się redukują bo $\overrightarrow{cb}\circ \overrightarrow{ac}=\overrightarrow{ac}\circ \overrightarrow{cb}$ oraz $\overrightarrow{ac} = -\overrightarrow{ca}$ .

Stąd

$\overrightarrow{cp}\circ \overrightarrow{ab} +\overrightarrow{bp}\circ \overrightarrow{ca} +\overrightarrow{ap}\circ \overrightarrow{bc} = 0$

Jeśli w sumie po lewej stronie dowolne dwa składniki są zerowe to także trzeci musi być zerowy. A zgodnie z założeniem $\overrightarrow{bp}\circ\overrightarrow{ac}=0$ i $\overrightarrow{ap}\circ\overrightarrow{cb}=0$ .

Czyli

$\overrightarrow{cp}\circ\overrightarrow{ab}\ = 0$ .

W dowodzie wykorzystano fakt, że dla dowolnej prostej m i dowolnego punktu q nie należącego do m istnieje dokładnie jedna prosta prostopadła do m i przechodząca przez q.

[edytuj] Uogólnienie na geometrie nieeuklidesowe

Zdefiniowane wyżej pojęcie wysokości trójkąta oparte jest o pojęcie prostopadłości (odcinków, dwóch par punktów, półprostych, prostych itd.), które jest niezależne od wyboru geometrii stałej krzywizny. Inaczej mówiąc jest pojęciem geometrii absolutnej rozumianej jako "część wspólna" trzech geometrii: parabolicznej, eliptycznej i hiperbolicznej. W zależności od pomysłowości i woli układającego aksjomatykę prostopadłość może być przyjęta jako pojęcie pierwotne, może też być zdefiniowana przy użyciu pojęcia przystawania dwóch par punktów (co można wyobrażać sobie jako przystawanie dwóch odcinków). I do jej opisania nie trzeba odwoływać się np. do pojęcia równoległości i jej własności.

Wyżej zaprezentowano dowód twierdzenia o przecinaniu się wysokości trójkąta dla geometrii parabolicznej czyli płaskiej (euklidesowej). Okazuje się, że twierdzenie to zachodzi w każdej z trzech wspomnianych geometrii. Niżej przedstawiono dowód dla sfery będącej jednym z modeli geometrii eliptycznej, chociaż interesujące byłoby wyprowadzenie tego twierdzenia na bazie jakiejś aksjomatyki wspólnej dla wspomnianych trzech geometrii.

[edytuj] Twierdzenie (dla sfery)

Wszystkie trzy wysokości trójkąta sferycznego przecinają się w jednym punkcie

dowód

Kąt między dwiema prostymi sferycznymi czyli kołami wielkimi jest kątem między płaszczyznami zawierającymi te koła wielkie, a ten z kolei jest kątem między wektorami prostopadłymi do obu tych płaszczyzn.

Jeśli mamy dwa punkty na sferze będące końcami wektorów x, y o początku w środku sfery to korzystając z pojęcia iloczynu wektorowego możemy wyznaczyć wektor prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na x, y jako $x \times y$ Ponieważ interesuje nas nie tyle kąt ile zachodzenie (lub nie) prostopadłości więc wystarczy zbadać spełnienie równości $(u \times v) \cdot (w \times z) = 0$ dla dwóch prostych wyznaczonych przez wektory u,v oraz w,z