Trójkąt prostokątny

Z Wikipedii

Trójkąt prostokątny
a, b - długości przyprostokątnych,
c - długość przeciwprostokątnej,
α, β - miary kątów ostrych,
h - długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną c

Trójkąt prostokątny - trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty, czyli o mierze 90°.

Dwa boki trójkąta leżące obok kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, a trzeci bok przeciwprostokątną.

Własności trójkąta prostokątnego:

trójkąt prostokątny spełnia twierdzenie Pitagorasa;
średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest jego przeciwprostokątna c.

Trójkąt egipski jest trójkątem prostokątnym o stosunkach długości boków 3:4:5. Znany był w starożytnym Egipcie (stąd nazwa), w piramidzie Cheopsa znajduje się komnata królewska o wymiarach: 3, 4, 5. Taki trójkąt ma:

Obwód równy 12

Pole równe 6

Spis treści

1 Pole trójkąta prostokątnego
2 Zależności w trójkącie prostokątnym
3 Wysokości
4 Twierdzenia o podobieństwie trójkątów (cechy podobieństwa)
5 Zobacz też

[edytuj] Pole trójkąta prostokątnego

Pole powierzchni trójkąta prostokątnego dane jest wzorami:

$S={{1\over2}{c}\cdot{h}}$
$S={{1\over2}{b}\cdot{a}}$
$S={{{1\over2} b^2 \operatorname{tg}\alpha}}={{{1\over2}a^2\operatorname{tg}\beta}}$ ,
$S={{1\over4}c^2 \operatorname{sin}2\alpha}$

[edytuj] Zależności w trójkącie prostokątnym

${\frac {a}{c}=\operatorname{sin}\alpha}$
${\frac {b}{c}=\operatorname{cos}\alpha}$
${\frac {a}{b}=\operatorname{tg}\alpha}$
${\frac {b}{a}=\operatorname{ctg}\alpha}$
${\frac {c}{b}=\operatorname{sec}\alpha}$
${\frac {c}{a}=\operatorname{csc}\alpha}$

[edytuj] Wysokości

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego są jego wysokościami.

Wysokość poprowadzona od kąta prostego ma długość ${{ab}\over{c}}$ i dzieli trójkąt prostokątny na dwa trójkąty prostokątne. Trójkąty te jak i dzielony trójkąt są podobne.

[edytuj] Twierdzenia o podobieństwie trójkątów (cechy podobieństwa)

Cechy podobieństwa trójkątów po uwzględnieniu istnienia kąta prostego w trójkącie prostokątnym sprowadzają się do:

Cecha bkb (bok-kąt-bok) - jeśli w trójkącie prostokątnym stosunki długości przyprostokątnych trójkątów lub stosunki przyprostokątnej do przeciwprostokątnej są równe, to trójkąty są podobne
Cecha kk (kąt-kąt): - jeśli w trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych jest równy kątowi w drugim trójkącie, to są to trójkąty podobne.