Elipsóide
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Em matemática, um elipsóide é um sólido que resulta da rotação de uma elipse em torno de um dos seus eixos. A equação de um elipsóide num sistema de coordenadas cartesiano x-y-z é
onde a, b e c são números reais positivos que determinam as dimensões e forma do elipsóide. Se dois dos números são iguais, o elipsóide é um esferóide; se os três forem iguais, trata-se de uma esfera.
Supondo a ≥ b ≥ c, então:
- a ≠ b ≠ c : o elipsóide é escaleno
- c = 0 : o elipsóide é plano (duas elipses em simetria)
- b = c : esferóide em forma de charuto
- a = b : esferóide em forma de comprimido
- a = b = c : esfera
Índice |
[editar] Volume
O volume de um elipsóide é dado por:
[editar] Área da superfície
A área da superfície tem uma fórmula mais complexa, dada por:
em que
e F(θ,m) e E(θ,m) são os integrais elípticos incompletos do segundo e terceiro tipos.
Fórmulas aproximadas:
- Elipsóide plano:
- Se b = c:
- Se a = b:
- Se o elipsóide é escaleno:
onde p ≈ 1.6075 resulta num erro relativo máximo de cerca de 1.061% (fórmula de Knud Thomsen); um valor de p = 8/5 = 1.6 resulta bem para praticamente todos os elipsóides esferóides, com erro relativo máximo de 1.178% (fórmula de David W. Cantrell).
[editar] Transformações lineares
Ao aplicar uma transformação linear invertível a uma esfera, obtém-se um elipsóide
A intersecção de um elipsóide com um plano é um conjunto vazio, um ponto ou uma elipse.
[editar] Aplicação em cartografia
Nas ciências cartográficas, os elipsóides são utilizados como aproximação da forma irregular da Terra, já que representam o achatamento nos pólos, ao contrário das esferas . As projecções cartográficas têm como domínio coordenadas elipsoidais.