Produto vetorial

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Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Pode ser denominado também como produto externo. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais.

[editar] Definição

A notação do produto vetorial entre dois vetores a e b é a × b (em manuscritos, alguns matemáticos escrevem a ∧ b para evitar a confusão com a letra x). Podemos defini-lo como

$||\mathbf{a} \times \mathbf{b}|| = \mathbf\hat{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| sen \theta$

onde θ é a medida do ângulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido pelos dois vetores, e n é o vetor unitário perpendicular a tanto a quanto b.

O problema com esta definição é que existem dois vetores unitários que são perpendiculares à a e b simultaneamente: se n é perpendicular, então −n também o é.

O resultado correto depende da orientação do espaço vetorial, i.e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k). O produto vetorial a × b é definido de tal forma que (a, b, a × b) se torna destro se (i, j, k) é destro ou canhoto se (i, j, k) é canhoto.

Uma forma fácil de calcular a direção do vetor resultante é a "regra da mão direita". Se um sistema de coordenadas é destro, basta apontar o indicador na direção do primeiro operando e o dedo médio na direção do segundo operando. Desta forma, o vetor resultante é dado pela direção do polegar.

Como o produto vetorial depende do sistema de coordenadas, seu resultado é referenciado como pseudovetor. Felizmente na natureza os produtos vetoriais aparecem aos pares, de maneira que a orientação do sistema de coordenadas é cancelado pelo segundo produto vetorial.

O produto vetorial pode ser representado graficamente, com respeito à um sistema de coordenadas destro, como se segue:

[editar] Propriedades

[editar] Significado geométrico

O comprimento do produto vetorial, |a × b|, pode ser interpretado como a área do paralelograma definido pelos vetores a e b. Isto significa que o produto misto (ou triplo-escalar) resulta no volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c.

[editar] Propriedades algébricas

O produto vetorial é anticomutativo,

a × b = -b × a,

distributivo sobre a adição,

a × (b + c) = a × b + a × c,

e compatível com a multiplicação escalar, tal que

(ra) × b = a × (rb) = r(a × b).

Não é associativo, mas satisfaz a identidade de Jacobi:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

A distributividade, linearidade e identidade de Jacobi mostram que R³ junto com a adição de vetores e o produto vetorial formam uma álgebra de Lie.

Além disso, dois vetores não nulos a e b são paralelos se e somente se a × b = 0.

[editar] Fórmula de Lagrange

Esta é uma fórmula útil e bem conhecida,

a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b),

a qual é mais fácil de memorizar como “BAC menos CAB”. Esta fórmula é muito útil para simplificar cálculos com vetores na física. É importante notar, entretanto, que esta fórmula não aplica-se quando do uso do operador nabla.

Um caso especial com respeito a gradiente em cálculo vetorial é:

$\begin{matrix} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) &=& \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\ &=& \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} ) - \mbox{laplacian } \mathbf{f}. \end{matrix}$

Este é um caso especial da mais geral decomposição Hodge $\Delta = d \partial + \partial d$ do Laplaciano Hodge.

Outra identidade útil de Lagrange é

$|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2.$

Este é um caso especial da multiplicatividade $| v w | = | v | | w |$ da norma na álgebra de quaternion.

[editar] Notação Matricial

O vetor unitário i, j e k para uma dado sistema ortogonal de coordenadas satisfaz as seguintes igualdades:

i × j = k j × k = i k × i = j

Com estas regras, as coordenadas do resultado do produto vetorial de dois vetores pode ser calculado facilmente, sem a necessidade de determinar-se qualquer ângulo. Seja:

a = a₁i + a₂j + a₃k = [a₁, a₂, a₃]

b = b₁i + b₂j + b₃k = [b₁, b₂, b₃].

Então

a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁].

A notação acima também pode ser escrita formalmente como o determinante de uma matriz:

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}$

O determinante de três vetores pode ser recuperado como

det (a, b, c) = a · (b × c).

Intuitivamente, o produto vetorial pode ser descrito pelo método de Sarrus, onde

$\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} & \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}$

Para os primeiros três vetores unitários, multiplique os elementos na diagonal da direita (ex. a primeira diagonal conteria i, a₂, e b₃). Para os três últimos vetores unitários, multiplique os elementos na diagonal da esquerda e então os multiplique por -1 (ex. a última diagonal conteria k, a₂, e b₁). O produto vetorial seria definido pela soma destes produtos:

$\mathbf{i}(a_2b_3) + \mathbf{j}(a_3b_1) + \mathbf{k}(a_1b_2) - \mathbf{i}(a_3b_2) - \mathbf{j}(a_1b_3) - \mathbf{k}(a_2b_1)$

O produto vetorial também pode ser descrito em termos de quaternions. Note por exemplo que as relações entre produtos vetoriais acima i, j, e k concordam com a relação multiplicativa entre os quaternions i, j, e k. Em geral, se representamos um vetor [a₁, a₂, a₃] como o quaternion a₁i + a₂j + a₃k, obtemos o produto vetorial tomando seus produtos e descartando a parte real do resultado (a parte real será o negativo do produto escalar de dois vetores). Mais sobre a conexão entre multiplicação de quaternion, operações de vetores e geometria pode ser encontrado em quaternions e rotação espacial.

[editar] Aplicações

O produto vetorial ocorre na fórmula do operador vetorial rotacional. É também utilizado para descrever a Força de Lorentz experimentada por uma carga elétrica movendo-se em um campo magnético. As definições de torque e momento angular também envolvem produto vetorial.

O produto vetorial pode também ser utilizado para calcular a normal à um triângulo ou polígono.

[editar] Dimensões Maiores

O produto vetorial para vetores 7-dimensionais pode ser obtido da mesma maneira, porém usando-se os octônions em vez dos quatérnions.

Esse produto vetorial 7-dimensional tem as seguintes propriedades em comum com o habitual produto vetorial tridimensional:

É bilinear de forma que:

x × (ay + bz) = ax × y + bx × z

(ay + bz) × x = ay × x + bz × x.

É anticomutativo:

x × y + y × x = 0

É perpendicular a x e a y simultaneamente:

x · (x × y) = y · (x × y) = 0

Temos:

|x × y|² = |x|² |y|² − (x · y)².

Diferente do produto vetorial tridimensional, não satisfaz a identidade de Jacobi (a igualdade se manteria em 3 dimensões):

x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x × y) ≠ 0

Os parágrafos a seguir contém expressões em itálico que ainda necessitam tradução

Para o caso geral (n-dimensional), não há análogo direto do produto vetorial. Entretanto existe o wedge product produto exterior (literalmente produto cunha), que possui propriedades semelhantes, exceto que o produto exterior de dois vetores passa a ser um 2-vector em vez de um vetor comum. O produto vetorial pode ser interpretado como sendo o produto exterior em três dimensões após usar-se a dualidade de Hodge para se identificar 2-vectores com vectores.

O produto exterior e o produto escalar podem ser combinados para formarem o produto de Clifford .