Teorema do virial

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Em mecânica, o virial $G$ de um conjunto de $N$ partículas é definido como:

$G = \sum_{k=1}^{N} \mathbf{p}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k}$

onde $\mathbf{r}_{k}$ e $\mathbf{p}_{k}$ são o vetor posição e o vetor momentum , respectivamente, da $k a$ partícula. A expressão "virial" deriva do Latin, vis,viris, palavra para "força" ou "energia" e foi cunhada por Rudolf Clausius (1822-1888) em 1870. Em muitos casos de interesse físico, o virial é aproximadamente constante, de onde o teorema do virial pode ser derivado

$2 \left\langle T \right\rangle = -\sum_{k=1}^{N} \left\langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle$

onde $\left\langle T \right\rangle$ representa a média da energia cinética total e $\mathbf{F}_{k}$ representa a força atuando sobre a $k$ -ésima partícula.

Em particular, se as forças entre as partículas resultam de uma energia potencial $V (r)$ que é alguma potência n da distância entre partículas, r, o teorema do virial assume uma forma simples:

$2 \langle T \rangle = n \langle U \rangle$

Em outras palavras, duas vezes a energia cinética total, T, é igual a n vêzes a energia potencial total, U.

Uma consequência do teorema do virial é que ele permite que a energia cinética total seja calculada mesmo para sistemas complicados que não têm uma solução exata, tais como aqueles considerados em mecânica estatística. Por exemplo, o teorema do virial pode ser usado para derivar o teorema de equipartição ou para calcular o limite de Chandrasekhar para a estabilidade de estrelas anãs brancas.

Índice

1 A derivada temporal e sua média
2 O teorema do virial
3 Relação com a energia potencial
4 Aplicação a forças que seguem uma lei da potência
5 Inclusão de campos eletromagnéticos
6 Referências
7 Leitura adicional

[editar] A derivada temporal e sua média

A derivada temporal do virial pode ser escrita como

$\frac{dG}{dt} = \sum_{k=1}^{N} \frac{d\mathbf{p}_{k}}{dt} \cdot \mathbf{r}_{k} + \sum_{k=1}^{N} \mathbf{p}_{k} \cdot \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt}$

$= \sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} + \sum_{k=1}^{N} m_{k} \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt}$

ou, de modo mais simples,

$\frac{dG}{dt} = 2 T + \sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k}.$

Aqui, $m k$ é a massas da $k$ -ésima partícula, $\mathbf{F}_{k} = \frac{d\mathbf{p}_{k}}{dt}$ é a força líquida atuando sobre a partícula e $T$ é a energia cinética total do sistema.

$T = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_{k} v_{k}^{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_{k} \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt}.$

A média desta derivada no intervalo de tempo $τ$ é definida como:

$\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \frac{dG}{dt}\,dt = \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} dG = \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau},$

da qual podemos obter a equação exata

$\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = 2 \left\langle T \right\rangle_{\tau} + \sum_{k=1}^{N} \left\langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle_{\tau}.$

[editar] O teorema do virial

O teorema do virial estabelece que, se $\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = 0$ , então

$2 \left\langle T \right\rangle_{\tau} = -\sum_{k=1}^{N} \left\langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \right\rangle_{\tau}.$

Existem muitas razões pelas quais a média das derivadas temporais podem se anular, isto é,

$\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = 0$ .

Uma razão frequentemente citada se aplica à sistemas ligados, i.e., sistemas em que as partículas permanecem sempre juntas. Nesse caso, o virial $G bound$ está normalmente entre dois valores extremos, $G min$ e $G max$ , e a média vai a zero para o limite de tempos muitos longos $τ$

$\lim_{\tau \rightarrow \infty} \left| \left\langle \frac{dG^{\mathrm{bound}}}{dt} \right\rangle_{\tau} \right| = \lim_{\tau \rightarrow \infty} \left| \frac{G(\tau) - G(0)}{\tau} \right| \le \lim_{\tau \rightarrow \infty} \frac{G_\max - G_\min}{\tau} = 0.$

Mesmo se a média da derivada temporal $\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} \approx 0$ é somente aproximadamente zero, o teorema do virial continua valendo, com a mesma ordem de aproximação.

[editar] Relação com a energia potencial

A força total $\mathbf{F}_{k}$ atuando sobre a partícula $k$ é a soma de todas as forças exercidas pelas outras partículas do sistema, $j$

$\mathbf{F}_{k} = \sum_{j=1}^{N} \mathbf{F}_{jk}$

onde, $\mathbf{F}_{jk}$ é a força aplicada pela partícula $j$ na partícula $k$ . Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial pode ser escrito como

$\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_{k}.$

Como nenhuma partícula atua sobre sí mesma (i.e., $\mathbf{F}_{jk} = 0$ , sempre que $j = k$ ), temos que

$\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_{k} + \sum_{k=1}^{N} \sum_{j>k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \mathbf{r}_{k} = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \left( \mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j} \right).$

onde assumimos que a terceira lei de Newton pde ser aplicada, i.e., $\mathbf{F}_{jk} = -\mathbf{F}_{kj}$ (reações iguais e opostas).

É comum acontecer que as forças possam ser derivadas da energia potencial $V$ que é uma função somente da distância, $r j k$ , entre as partículas $j$ e $k$ . Como força é o gradiente da energia potencial, temos, neste caso

$\mathbf{F}_{jk} = -\nabla_{\mathbf{r}_{k}} V = - \frac{dV}{dr} \frac{\mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j}}{r_{jk}},$

a qual é igual e oposta a $\mathbf{F}_{kj} = -\nabla_{\mathbf{r}_{j}} V$ , a força aplicada pela partícula $k$ sobre a partícula $j$ , como pode ser confirmado por cálculos explícitos. Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial é

$\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \mathbf{F}_{jk} \cdot \left( \mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j} \right) = -\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \frac{dV}{dr} \frac{\left( \mathbf{r}_{k} - \mathbf{r}_{j} \right)^2}{r_{jk}} = -\sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \frac{dV}{dr} r_{jk}.$

[editar] Aplicação a forças que seguem uma lei da potência

É comum acontecer que a energia potencial $V$ é uma função do tipo lei de potência

$V(r_{jk}) = \alpha r_{jk}^{n},$

onde o coeficiente $α$ e o expoente $n$ são constantes. Em tais casos, o termo de força da derivada temporal do virial é dado pela equação

$-\sum_{k=1}^{N} \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} \frac{dV}{dr} r_{jk} = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} n V(r_{jk}) = n U$

onde $U$ é a energia potencial total do sistema

$U = \sum_{k=1}^{N} \sum_{j<k} V(r_{jk}).$

Em tais casos, quando a média da derivada temporal do virial, $\left\langle \frac{dG}{dt} \right\rangle_{\tau} = 0$ é zero, a equação geral torna-se

$\langle T \rangle_{\tau} = -\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} \langle \mathbf{F}_{k} \cdot \mathbf{r}_{k} \rangle_{\tau} = \frac{n}{2} \langle U \rangle_{\tau}.$

Um exemplo muito citado é a força de atração gravitacional, para a qual $n = - 1$ . Neste caso, a energia cinética média é metade da energia potencial média, negativa

$\langle T \rangle_{\tau} = -\frac{1}{2} \langle U \rangle_{\tau}.$

Este resultado é notavelmente útil para sistemas gravitantes complexos, tais como o sistema solar ou galáxias, e também para sistemas eletrostáticos, para os quais $n = - 1$ , também.

A pesar de ter sido derivado para a mecânica clássica, o teorema do virial também vale para a mecânica quântica.

[editar] Inclusão de campos eletromagnéticos

O teorema do virial pode ser expandido para incluir o campo magnético e o campo elétrico. O resultado é^[1]

$\frac{1}{2}\frac{d^2}{dt^2}I + \int_Vx_k\frac{\partial G_k}{\partial t}d^3r = 2(T+U) + W^E + W^M - \int x_k(p_{ik}+T_{ik})dS_i,$

onde I é o momentum de inéricia, G é o vetor Poynting, T é a energia cinética do "fluido", U é a energia térmica (randômica ou cinética) das partículas, W^E e W^M são as energias dos campos elétrico e magnético contidas no volume considerado. Finalmente, p_ik é o tensor pressão de fluido expresso no sistema de coordenadas móvel local

$p_{ik} = \Sigma n^\sigma m^\sigma \langle v_iv_k\rangle^\sigma - V_iV_k\Sigma m^\sigma n^\sigma$ ,

e T_ik é o tensor de stress eletromagnético,

$T_{ik} = \left( \frac{\varepsilon_0E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0} \right) - \left( \varepsilon_0E_iE_k + \frac{B_iB_k}{\mu_0} \right).$

Um plasmóide é uma configuração finita de campos magnéticos e plasma. Com o teorema do virial é fácil ver que qualquer configuração que seja, se expandirá se não for contida por forças externas. Em uma configuração finita sem paredes de pressão-rolamento ou bobinas magnéticas, a integral de superfície será nula. Como todos os outros termos do lado direito são positivos, a aceleração do momentum de inércia também será positiva. Também é fácil de estimar o tempo de expansão τ. Se a massa total M está confinada dentro de um raio R, então o momentum de inérica é aproximadamente MR², e o lado esquerdo do teorema do virial é MR ²/τ². Os termos no lado direito somam até cerca de pR³, onde p é o maior entre a pressão de plassma e a pressão magnética. Equacionando esses dois termos e resolvendo para τ, encontramos

$\tau\,\sim R/c_s,$

onde c_s é a velocidade da onda acústica de íons (ou onda de Alfven), se a pressão magnética é maior que a pressão de plasma). Logo, a meia-vida esperada para um plasmóide é da ordem do tempo de trânsio acústico (ou de Alfven).