Variedade

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Em matemática, variedade é uma generalização da idéia de superfície.

Existem vários tipos de variedades, de acordo com as propriedades que possuem. As mais usuais são as variedades topológicas e as variedades diferenciáveis.

As variedades são de interesse no estudo da geometria, da topologia, e da análise.

[editar] Motivação

Consideremos a opinião antiga que a terra era plana em contraste com a evidência moderna que é redonda. A discrepância levanta-se essencialmente do fato que nas escalas pequenas que nós vemos, a terra vista é certamente plana. No geral, algum objeto que for quase "plano" em escalas pequenas é uma variedade, e assim a variedades constituem uma generalização dos objetos que nós poderíamos viver sobre quais nós encontraríamos o problema plana/redonda da terra.

[editar] Construção geral

Quatro cartas de um círculo.

A ideia geral comum aos vários tipos de variedades consiste na decomposição de um conjunto em vários pedaços do mesmo tipo, de modo que estes pedaços se liguem bem.

Formalmente, considere-se um espaço topológico $X\;$ e um grupo $G\;$ de homeomorfismos de $X\;$ . Uma variedade modelada no par $(X,G)\,$ é um espaço topológico $M\;$ dotado de um conjunto de cartas $\phi_i:U_i\rightarrow V_i$ , chamado atlas, onde $U_i\,$ e $V_i\,$ são abertos de $M\,$ e $X\,$ , respectivamente tais que:

$\cup_i U_i=M$
se $U_i\cap U_j\neq\emptyset$ , então $\phi_j\circ\phi_i^{-1}\in G$

[editar] Variedades topológicas

Uma variedade topológica é uma variedade modelada no par $(\R^n,\mbox{Homeo}(\R^n))$ , onde $\mbox{Homeo}(\R^n)$ é o conjunto dos homeomorfismos de $\R^n$ . Por outras palavras, uma variedade topológica é um espaço topológico que localmente é similar a um espaço euclidiano.

[editar] Variedades diferenciáveis

Uma variedade diferenciável é uma generalização de uma variedade topológica que traduz a ideia de diferenciabilidade. É uma variedade modelada no par $(\R^n,\mbox{Difeo}(\R^n))$ , onde $\mbox{Difeo}(\R^n)$ é o conjunto dos difeomorfismos de $\R^n$ .

[editar] Dimensão

As variedades de dimensão 1 e 2 têm nomes especiais. Assim,

uma variedade de dimensão 1 chama-se uma curva;
uma variedade de dimensão 2 chama-se uma superfície.

[editar] Exemplos

O exemplo básico de uma variedade é o próprio espaço euclidiano; muitas das suas propriedades recaem sobre as variedades. Além disso, todo o limite plano de um subconjunto do espaço euclidiano, como o círculo ou a esfera, é uma variedade.