Натуральное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Натура́льные чи́сла — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при :

перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России).
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета… ) общепринято в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа — натуральными числами не являются.

Множество натуральных чисел принято обозначать знаком $\mathbb{N}$ .

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдется другое натуральное число, большее его.

[править] Аксиомы Пеано

Формальное определение натуральных чисел в XIX веке сформулировал итальянский математик Джузеппе Пеано.
Аксиомы Пеано основывались на построениях Грассмана, хотя именно Пеано придал им современный вид.
Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства равенств вида $2 * 2 = 4$ , основных свойств натуральных и целых чисел, построение дробей и вещественных чисел.

Аксиомы Пеано:
Введём функцию S, которая сопоставляет числу x следующее за ним число.

$1\in\mathbb{N}$ (1 является натуральным числом)
Если $x\in\mathbb{N}$ , то $S(x)\in\mathbb{N}$ (Число, следующее за натуральным, также является натуральным)
$\not\exists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)$ (1 не следует ни за каким натуральным числом)
Если $\,\ S(b) = a$ и $\,\ S(c) = a$ , тогда $\,\ b = c$ (если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b = c)
Аксиома индукции. Пусть $\,\ P(n)$ — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа $\,\ n$ . Тогда:

если $\,\ P(1)$ и $\forall\;n\ (P(n)\ \Rightarrow\; P(S(n)))$ , то $\forall\;n\ P(n)$

(Если некоторое высказывание P верно для n = 1 (база индукции) и для любого n при допущении, что верно P(n), верно и P(n+1) (индукционное предположение), то P(n) верно для любых натуральных n)

[править] Теоретико-множественное определение

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.
Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

$0 = \varnothing$
$S(n) = n\ \cup\ \left\{n\right\}$

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:
$0 = \varnothing$
$1 = \left\{\varnothing\right\}$
$2 = \big\{\varnothing, \left\{\varnothing\right\}\big\}$
$3 = \Big\{\varnothing, \left\{\varnothing\right\}, \big\{\varnothing, \left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}$

[править] Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

Сложение. Cлагаемое + Слагаемое = Сумма
Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
Вычитание. Уменьшаемое — Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом)
Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Если делимое = a, делитель = b, частное = p, остаток = q, то a = p*b + q.

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

[править] Основные свойства

Коммутативность сложения. $\,\! a + b = b + a$
Коммутативность умножения. $\,\! ab = ba$
Ассоциативность сложения. $\,\! (a + b) + c = a + (b + c)$
Ассоциативность умножения. $\,\! (ab)c = a(bc)$
Дистрибутивность умножения относительно сложения. $\,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}$

[править] Натуральные числа в русском языке

Числа от 1 до 10 — один (1), два (2), три (3), четы́ре (4), пять (5), шесть (6), семь (7), во́семь (8), де́вять (9), де́сять (10).

Числа от 11 до 20 — оди́ннадцать (11), двена́дцать (12), трина́дцать (13), четы́рнадцать (14), пятна́дцать (15), шестна́дцать (16), семна́дцать (17), восемна́дцать (18), девятна́дцать (19), два́дцать (20).

Числа от 30 до 90 — три́дцать (30), со́рок (40), пятьдеся́т (50), шестьдеся́т (60), се́мьдесят (70), во́семьдесят (80), девяно́сто (90).

Числа от 100 до 900 — сто (100), две́сти (200), три́ста (300), четы́реста (400), пятьсо́т (500), шестьсо́т (600), семьсо́т(700), восемьсо́т (800), девятьсо́т (900).