Модуль над кольцом

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В абстрактной алгебере понятие модуля над кольцом является обобщением двух наиболее важных алгебраических понятий - векторного пространства (здесь в качестве кольца берется какое-то конкретное поле), и абелевой группы (где кольцо совпадает с кольцом целых чисел).

Понятие модуля лежит в основе коммутативной алгебры, которая играет важную роль в различных областях математики, таких как

алгебраическая геометрия,
гомологическая алгебра,
теория представлений групп.

[править] Определения

Пусть $R\$ — кольцо. Правым $R\$ -модулем $M_R\$ называется абелева группа $M\$ с операцией умножения на элементы кольца $R\$

$M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto mr,$

которая удовлетворяет условиям дистрибутивности:

$\forall m_1,m_2\in M,\,\forall r\in R\quad (m_1+m_2)r=m_1r+m_2r,$

$\forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad m(r_1+r_2)=m r_1+m r_2.$

Если кольцо $R\$ ассоциативно и обладает единицей, условия дистрибутивности дополняют следующими:

$\forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad (mr_1)r_2=m(r_1r_2),$

$\forall m\in M\quad m1=m.$

Аналогично определяется понятие левого модуля.

[править] Связанные определения и свойства

Подмодулем модуля $M_R\$ называется подгруппа $B\$ группы $M\$ , замкнутая относительно умножения на элементы из $R\$ , т. е. такая, что

$\forall b \in B,\ r \in R\ : br \in B$ .

Подмодули модуля $R_R\$ являются правыми идеалами.

Гомоморфизм или $R$ -гомоморфизм $R$ -модулей $A$ и $B$ называется гомоморфизм групп $\phi: A \to B$ , для которого выполнено дополнительное условие $\phi(ar) = (\phi a)r\ \forall a \in A, r \in R$ . Множество всех таких гомоморфизмов обозначают через $Hom_R (A,\ B)$ . На этом множестве можно ввести структуру абелевой группы, определяя 0, - и + равенствами

$0a = 0,\ (-\phi)a = - (\phi a),\ (\phi + \psi)a = \phi a + \psi a$ .

Модуль называют артиновым (нетеровым), если каждая убывающая (возрастающая) последовательнось его подмодулей стабилизируется за конечное число шагов.

[править] Примеры

Любое кольцо $R$ является модулем над самим собой.
Любая абелева группа — модуль над кольцом целых чисел.
Линейное пространство над полем $F$ — модуль (как левый, так и правый) над $F$ .
Линейное пространство $V$ — модуль над кольцом всех своих линейных преобразований $L (V)$
Дифференциальные формы на гладком многообразии $M$ снабжены естественной структурой модуля над кольцом всех гладких функций на $M$ .

[править] История

Простейшие примеры модулей (конечные абелевы группы, т.е. $\Z$ -мoдули) появляются уже у Гаусса как группы классов бинарных квадратичных форм. Общее понятие модуля встречается впервые в 60—80-х гг. 19 в. в работах Дедекинда и Кронекера, посвященных арифметике полей алгебраических чисел и алгебраических функций. Проводившееся примерно в это же время исследование конечномерных ассоциативных алгебр, и в частности групповых алгебр конечных групп (В. Пирс, В. Peirce, Ф. Фробениус, F. Frobenius), привело к изучению идеалов некоторых некоммутативных колец. Первоначально теория модулей развивалась преимущественно как теория идеалов некоторого кольца. Лишь позднее в работах Нётер и В. Крулля (W. Krull) было замечено, что многие результаты удобнее формулировать и доказывать в терминах произвольных модулей, а не только идеалов.