Банахово пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ба́наховы пространства являются одними из важнейших объектов изучения в функциональном анализе. Они названны по имени Стефана Банаха, который их изучал.

[править] Определение

Банаховым пространством называется полное нормированное векторное пространство. Это значит, что банахово пространство — это векторное пространство V над полем вещественных или комплексных чисел с определённой в нём нормой $\|\cdot\|$ так, что любая фундаментальная последовательность в V имеет предел, который также принадлежит V.

[править] Примеры

Далее обозначим через K одно из полей $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$ .

Евклидовы пространства Kⁿ с евклидовой нормой, определяемой для x = (x₁, …, x_n) как ||x|| = (∑ |x_i|²)^1/2, являются банаховыми пространствами.
Пространство всех непрерывных функций f : [a, b] → K, определённых на закрытом интервале [a, b] будет банаховым пространством, если мы определим его норму как ||f|| = sup { |f(x)| : x в [a, b] }. Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как C[a, b]. Этот пример можно обобщить к пространству C(X) всех непрерывных функций X → K, где X — компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций X → K, где X — любое топологическое пространство, или даже к пространству B(X) всех ограниченных функций X → K, где X — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются по сути банаховыми алгебрами.
Если p ≥ 1 — вещественное число, можно сказать, что пространство всех бесконечных последовательностей (x₁, x₂, x₃, …) элементов из K, таких как, например, бесконечные ряды ∑ |x_i|^p, сходится. Если корень степени p значений этого ряда определим как p-норму такой последовательности, то наше пространство с такой нормой будет являться банаховым, а обозначаться так: l ^p.
Банахово пространство l^∞ состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из K; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных значений элементов последовательности.
Снова, если p ≥ 1 - вещественное число, можно рассматривать все функции интегрируемыми по Лебегу. Корень степени p этого интеграла определим как норму f. Само собой, это пространство не будет банаховым, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом: f и g эквивалентны тогда и только тогда, когда норма f — g равна нулю. Множество классов эквивалентности тогда является банаховым пространством; оно обозначается как L^p[a, b]. Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, L^p-пространства.
Если X и Y — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму X ⊕ Y, которое опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
Если M — замкнутое подпространство банахова пространства X, то факторпространство X/M снова является банаховым.
Наконец, любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.

[править] Линейные операторы

Если V и W — банаховы пространства над одним полем K, тогда множество непрерывных K-линейных отображений A : V → W обозначается L(V, W). Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. L(V, W) — векторное пространство, и, если норма задана как ||A|| = sup { ||Ax|| : x in V, где ||x|| ≤ 1 }, является также и банаховым.