Корень Бринга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В алгебре корень Бринга или ультрарадикал — вещественный корень многочлена

x⁵ + x + a,

где a — комплексное число.

Джордж Жерар (1804—1863) показал, что некоторые уравнения 5-й степени могут быть решены в радикалах и корнях Бринга, которые были введены Эрландом Брингом (1736—1798).

[править] Нормальная форма Бринга-Жерара

Если

тогда, если

мы можем получить полином 5-й степени от y, сделав преобразование Чирнхауса^(англ.), например, используя результант для исключения x. Мы можем затем подобрать конкретные значения коэффициентов b_i для того, чтобы получить полином от y в форме

Эта неполная форма, открытая Брингом и переоткрытая Жераром, называется нормальной формой Бринга-Жерара. Метод «в лоб» при попытке приведения к нормальной форме Бринга-Жерара не срабатывает; нужно делать это шаг за шагом, применяя несколько преобразований Чирнхауса, которые современные системы аналитических вычислений делают довольно легко.

В начале, подставляя x − a₁ / 5 вместо x, избавляемся от члена с x⁴. Затем, применяя идею Чирнхауса для исключения и члена x³, введём переменную y = x² + px + q и найдём такие p и q, чтобы в результате коэффициенты при x⁴ и x³ стали равны 0. Конкретнее, подстановки и

исключают члены третьей и четвёртой степени одновременно из

Следующим шагом делаем подстановку

в форму

и исключаем также член второй степени, в процессе чего не потребуется решения уравнений степени выше 3. При этом выражения для b₁, b₂ и b₄ содержат квадратные корни, а в выражении для b₃ присутствует корень третьей степени.

Общий вид сравнительно легко вычислить с помощью компьютерных систем типа Maple или Mathematica, но он слишком громоздкий, поэтому лучше опишем метод, который затем может быть применён в конкретном случае. В любом частном случае можно составить систему из трёх уравенний для коэффициентов b_i и решить её. Одно из решений полученных таким образом будет, как сказано выше, включать корни многочленов не выше третьей степени; рассмотрев затем результант с вычисленными коэффициентами, сведём уравнение к форме Бринга-Жеррара. А корни первоначального уравнения выражаются через корни полученного уравнения.

Рассматриваемые как алгебраическая функция, решения уравнения

зависят от двух переменных, u и v, однако заменой переменной можем видоизменить уравнение так, чтобы неизвестная была функцией уже только одного параметра. Так, если положить

придём к форме

которая содержит x как алгебраическую функцию одной переменной t.

[править] Корни Бринга

Как функции комплексной переменной t, корни x уравнения

имеют точки ветвления, где дискриминант 800000(t⁴ - 1) обращается в ноль, то есть в точках 1, −1, i and -i. Монодромия вокруг любой из точек ветвления обменивает две из них, оставляя одну на месте. Для вещественных значений t, больших или равных −1, наибольшый вещественный корень есть функция от t, монотонно возрастающая от 1; назовём эту функцию корень Бринга, BR(t). Выбирая ветвь, обрезанную вдоль вещественной оси от -&infty; до −1, мы можем продолжить корень Бринга на всю комплексную плоскость, устанавливая значения вдоль ветви так, чтобы получалось аналитическое продолжение вдоль верхней полуплоскости.

Конкретно, положим , и последовательность a_i определим рекуррентно

Для комплексных значений t таких, что |t - 57| < 58, получим

что можно аналитически продолжить, о чём было уже упомянуто.

Корни x⁵ — 5x — 4t = 0 можно теперь выразить в терминах корнях Бринга таким образом:

для n от 0 до 3, и

r₄ = − r₀ − r₁ − r₂ − r₃

для пятого корня.

[править] Решение общего уравнения пятой степени

Мы можем теперь выразить корни полинома

в терминах радикалов Бринга как

и его четыре комплексных сопряжения.

Итак, у нас есть сведение к форме Бринга-Жеррара в терминах разрешимых полиномиальных уравнений, при этом используются полиномиальные преобразования, включающие выражения в корнях не выше четвёртой степени. Это значит, что преобразования могут быть обращены нахождением корней многочлена, выраженных в радикалах. Эта процедура порождает лишние решения, но если отсечь их численными методами, то получим выражение для корней уравнения пятой степени через квадратные, кубические корни и радикалы Бринга, что т.о. будет алгебраическим решением в терминах алгебраических функций одной переменной - алгебраическим решением общего уравнения пятой степени.

[править] Другие свойства

Много других свойств корней Бринга было получено, первые были сформулированы в терминах модулярных эллиптических функций Шарлем Эрмитом в 1858.

[править] Вывод Глассера

По М. Л. Глассеру (см. ссылку внизу) можно найти решение любого полиномиального уравнения из трёх слагаемых вида:

x^N − x + t

В частности, произвольное уравнение пятой степени может быть сведено к такой форме с помощью преобразований Чирнхауса, показанных выше. Возьмём x = ζ ^{− 1 / (N − 1)}, где общая форма:

ζ = e^2πi + tφ(ζ),

а

φ(ζ) = ζ^{N / (N − 1)}

Формула Лагранжа показывает, что любая аналитическая функция f в окрестности корня преобразованного общего уравнения относительно ζ может быть выражена в виде бесконечного ряда:

Если мы положим f(ζ) = ζ ^{− 1 / (N − 1)} в этой формуле, то сможем получить корень:

Следующие N-2 корня могут быть найдены заменой exp( − 2πi / (N − 1)) на другие корни (N-1)-й степени из единицы, а последний корень - из теоремы Виета (например, используя тот факт, что сумма всех корней многочлена трёхчленной формы, приведённой выше, равна 1). С помощью теоремы произведения Гаусса (Gauss' Multiplication Theorem^(англ.)) вышеуказанный бесконечный ряд может быть разбит в конечную сумму гипергеометрических функций:

где ω = exp(2πi / (N − 1)). Корни уравнения тогда можно представить как сумму самое большее N-1 гипергеометрических функций. Применяя этот метод к редуцированной форме Бринга-Жеррара, определим следующие функции:

которые суть гипергеометрические функции, присутстсвующие в рядах выше. Корни уравнения пятой степени тогда:

Это по существу тот же результат, что был получен методом дифференциальной резольвенты, разработанным Джеймсом Коклом^(англ.) и Робертом Харлеем в 1860 году.

[править] См. также

• Теория уравнений^(англ.)

[править] Внешние ссылки

• M.L. Glasser. The Quadratic Formula Made Hard: A Less Radical Approach to Solving Equations. Статья доступна на arXiv.org здесь