Ciąg normalny

Z Wikipedii

Ciąg normalny – ciąg podgrup danej grupy pomocny przy badaniu jej struktury i rozwiązalności.

[edytuj] Definicja

Niech G będzie dowolną grupą. Skończony ciąg podgrup:

nazywa się ciągiem subnormalnym, jeżeli dla każdego i.

W ogólności grupy G_i nie muszą być podgrupami normalnymi grupy G, jeżeli jednak ciąg subnormalny składa się wyłącznie z podgrup normalnych grupy G, to nazywa się go ciągiem normalnym. Grupy ilorazowe G_{i + 1} / G_i nazywane są faktorami ciągu.

[edytuj] Dodatkowe pojęcia

• Ciąg z dodatkową własnością dla każdego i nazywa się ciągiem bez powtórzeń; równoważnie: każda grupa G_i jest właściwą podgrupą normalną G_{i + 1}.

• Długość ciągu to liczba właściwych zawierań A_i < A_{i + 1} lub równoważnie: liczba nietrywialnych faktorów. Jeżeli ciąg jest bez powtórzeń, to jego długość wynosi po prostu n.

• Niech G będzie grupą. Ciąg normalny nazywamy zagęszczeniem ciągu normalnego wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki ciąg liczb naturalnych , że dla .

[edytuj] Relacja równoważności

Mówi się, że dwa ciągi (sub)normalne są równoważne lub izomorficzne, jeżeli istnieje bijekcja między zbiorami ich grup ilorazowych tak, że odpowiadające im faktory są izomorficzne.

[edytuj] Przykłady

Każda (nietrywialna) podgrupa ma ciąg (sub)normalny długości jeden, mianowicie . Jest to najdłuższy możliwy ciąg dla grup prostych.

[edytuj] Związek z innymi pojęciami

Ciąg kompozycyjny grupy to ciąg normalny dla którego każda z podgrup G_i jest największą podgrupą normalną G_{i + 1}. Równoważnie: ciąg kompozycyjny to ciąg normalny, którego wszystkie faktory są proste.

Grupa rozwiązalna to grupa z ciągiem normalnym, którego wszystkie faktory są abelowe.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• ciąg kompozycyjny,
• grupa rozwiązalna.