Jakobian
Z Wikipedii
Spis treści |
Jakobian – wyznacznik macierzy zbudowanej z pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu pewnego układu funkcji rzeczywistych. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Carla Gustawa Jacobiego, który je wprowadził (niezależnie, pojęcie to badał Michaił Ostrogradski). Istnieje głęboka analogia pomiędzy pochodną funkcji rzeczywistej a jakobianem układu takich funkcji, która jest wykorzystywana w teorii funkcji uwikłanych, a także zagadnieniach związanych z zamianą zmiennych w całkach wielokrotnych.
[edytuj] Definicja
Jeżeli E jest otwartym podzbiorem przestrzeni , a funkcja jest różniczkowalna w punkcie dla pewnych liczb naturalnych n i m, to macierzą Jacobiego funkcji f w punkcie x0 nazywamy macierz:
Jeśli m = n, to wyznacznik macierzy Jacobiego nazywamy jakobianem i oznaczamy Jf, bądź .
[edytuj] Własności
- Pod założeniami powyższej definicji, jeśli D jest otwartym podziorem przestrzeni oraz funkcja jest różniczkowalna, to funkcja jest różniczkowalna oraz (por. twierdzenie o różniczkowaniu funkcji złożonej).
- Jakobian odwzorowania będącego izometrią jest stale równy 1.
[edytuj] Przykłady
Przykład 1. Dla odwzorowania , gdzie
jakobian oblicza się następująco:
- .
Przykład 2. Dla , gdzie
- ,
- ,
jakobian wyraża się
[edytuj] Bibliografia
- Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1. Warszawa: PWN, 1966, ss. 364-369.
- Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976, ss. 181-183.