Web - Amazon

We provide Linux to the World

We support WINRAR [What is this] - [Download .exe file(s) for Windows]

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
SITEMAP

Audiobooks by Valerio Di Stefano: Single Download - Complete Download [TAR] [WIM] [ZIP] [RAR] - Alphabetical Download [TAR] [WIM] [ZIP] [RAR] - Download Instructions

Make a donation: IBAN: IT36M0708677020000000008016 - BIC/SWIFT: ICRAITRRU60 - VALERIO DI STEFANO or
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
Jedynka hiperboliczna - Wikipedia, wolna encyklopedia

Jedynka hiperboliczna

Z Wikipedii

Jedynka hiperboliczna to tożsamość hiperboliczna postaci:

cosh 2 x - sinh 2 x = 1

spełniona dla każdej rzeczywistej lub zespolonej wartości x.

[edytuj] Dowód

Sposób 1.:

Jak wiemy

$\sinh x = {e^x - e^{-x}\over 2}$

$\cosh x = {e^x + e^{-x}\over 2}$

Stąd

$\cosh ^2 x - \sinh ^2 x = \left( {e ^x + e ^{-x} \over 2} \right) ^2 - \left( {e ^x - e ^{-x} \over 2} \right) ^2 = \,$ $= \left( {e ^x + e ^{-x} \over 2} - {e ^x - e ^{-x} \over 2} \right) \cdot \left( {e ^x + e ^{-x} \over 2} + {e ^x - e ^{-x} \over 2} \right) = \,$ $= \left( {e ^x + e ^{-x} + (- e ^x) + e ^{-x} \over 2} \right) \cdot \left( {e ^x + e ^{-x} + e ^x - e ^{-x} \over 2} \right) =$

$= {2 e ^{-x} \over 2} \cdot {2 e ^x \over 2} = e ^{-x} \cdot e ^x =1$ , c.b.d.o.

Sposób 2.:

Skorzystamy z:

związku między funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi

$\cosh x = \cos (ix) \,$

$\sinh x = -i \sin (ix) \,$

jedynki trygometrycznej słusznej dla każdej liczby zespolonej

Stąd

$\cosh ^2 x - \sinh ^2 x = \cos ^2 (ix) - \left( -i \sin (ix) \right) ^2 =$ $=\cos ^2 (ix) - (-i) ^2 \cdot \sin ^2 (ix) = \cos ^2 (ix) - (-1) ^2 i ^2 \cdot \sin ^2 (ix)=$ $= \cos ^2 (ix) - i ^2 \sin ^2 (ix) =\cos ^2 (ix) + \sin ^2 (ix) = 1 \,$ , c.b.d.o.

Kategoria: Funkcje matematyczne

Views

zmiany

dla edytorów

Szukaj

Our "Network":

Project Gutenberg
https://gutenberg.classicistranieri.com

Encyclopaedia Britannica 1911
https://encyclopaediabritannica.classicistranieri.com

Librivox Audiobooks
https://librivox.classicistranieri.com

Linux Distributions
https://old.classicistranieri.com

Magnatune (MP3 Music)
https://magnatune.classicistranieri.com

Static Wikipedia (June 2008)
https://wikipedia.classicistranieri.com

Static Wikipedia (March 2008)
https://wikipedia2007.classicistranieri.com/mar2008/

Static Wikipedia (2007)
https://wikipedia2007.classicistranieri.com

Static Wikipedia (2006)
https://wikipedia2006.classicistranieri.com

Liber Liber
https://liberliber.classicistranieri.com

ZIM Files for Kiwix
https://zim.classicistranieri.com

Other Websites:

Bach - Goldberg Variations
https://www.goldbergvariations.org

Lazarillo de Tormes
https://www.lazarillodetormes.org

Madame Bovary
https://www.madamebovary.org

Il Fu Mattia Pascal
https://www.mattiapascal.it

The Voice in the Desert
https://www.thevoiceinthedesert.org

Confessione d'un amore fascista
https://www.amorefascista.it

Malinverno
https://www.malinverno.org

Debito formativo
https://www.debitoformativo.it

Adina Spire
https://www.adinaspire.com