Kryterium Eisensteina
Z Wikipedii
Kryterium Eisensteina - w teorii pierścieni, kryterium badania nierozkładalności wielomianów o współczynnikach z pewnego pierścienia z jednoznacznym rozkładem w pierścieniu wielomianów o współczynnikach z ciała ułamków wyjściowego pierścienia. Początkowo, sformułowane dla wielomianów o współczynnikach całkowitych.
Spis treści |
[edytuj] Twierdzenie
Niech P będzie pierścieniem z jednoznacznym rozkładem i niech K będzie jego ciałem ułamków. Niech
będzie wielomianem o współczynnikach z pierścienia P. Jeśli istnieje element pierwszy 
taki, że
oraz 
,
to wielomian f jest nierozkładalny w pierścieniu K[x].
[edytuj] Szczególny przypadek
Jeśli P jest pierścieniem liczb całkowitych, to jego ciałem ułamków jest ciało liczb wymiernych. Wystarczy wówczas zastąpić zwrot element pierwszy przez liczba pierwsza.
[edytuj] Przykłady
- Wielomian f(x) = xn + 3x + 3 jest nierozkładalny na mocy kryterium Eisensteina - p = 3.
- Jeśli p jest liczbą pierwszą, to wielomian
jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych. Istotnie,
gdzie 
oznacza symbole Newtona, na przykład 
. Wszystkie współczynniki tego wielomianu z wyjątkiem najstarszego są podzielne przez p, ale p2 nie dzieli p, zatem z kryterium Eisensteina wynika, że wielomian ten jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.
[edytuj] Bibliografia
- Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975.
