Symbol Newtona

Z Wikipedii

Symbol Newtona ${n \choose k}$ (czytane n nad k, n po k lub k z n) jest to funkcja dwóch argumentów całkowitych nieujemnych, zdefiniowana jako:

${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

gdzie wykrzyknik oznacza silnię.

Wartość symbolu Newtona można wyrazić wzorem rekurencyjnym:

${n \choose k} = \begin{cases} 1 & \mbox{gdy } k=0 \mbox{ lub } k=n \\ {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} & \mbox{gdy } 0 < k < n \end{cases}$

Jest on równoważny definicji podanej wyżej, można więc uważać go za alternatywną definicję symbolu Newtona.

Symbol Newtona pojawia się również we wzorze dwumiennym Newtona jako współczynnik w k-tym wyrazie rozwinięcia n-tej potęgi sumy dwu składników – stąd jego druga nazwa: współczynnik dwumienny Newtona.

Spis treści

1 Własności symbolu Newtona
2 Trójkąt Pascala
3 Obliczanie symbolu Newtona
4 Ograniczenia dla symbolu Newtona
5 Związek z liczbami wielokątnymi
- 5.1 Dowód
6 Uogólnienie na wielomiany wyższych stopni
7 Uogólnienie na liczby rzeczywiste i zespolone
8 Zobacz też

[edytuj] Własności symbolu Newtona

[edytuj] Związki kombinatoryczne

Symbol Newtona równy jest liczbie wszystkich kombinacji k-elementowych ze zbioru n-elementowego (k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego). Liczba ta jest też oznaczana jako $C^k_n$ ; w literaturze angielskiej spotyka się oznaczenie $n C k$ , w amerykańskiej $n C k$ (od wyrażenia "n choice k" - "n brane po k").

Zatem poniższe symbole są równoważnymi oznaczeniami liczby dwuelementowych kombinacji ze zbioru siedmioelementowego:

${7 \choose 2} = C^2_7 = {}^7C_2 = {}_7C_2 = 21$

[edytuj] Pochodzenie wzoru iteracyjnego

Każdą kombinację k-elementową ze zbioru n-elementowego A można utworzyć wybierając kolejno k różnych elementów. Uzyskuje się w ten sposób k-elementowy ciąg, czyli wariację ze zbioru A. Wariacji takich jest

$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ .

Kombinacje, jako podzbiory, w przeciwieństwie do wariacji, czyli ciągów, nie mają ustalonej kolejności elementów. Dwie różne wariacje, różniące się tylko kolejnością elementów, dają tę samą kombinację. Liczba k-elementowych kombinacji jest więc mniejsza od liczby k-elementowych wariacji tylokrotnie, ile jest różnych porządków (przestawień, czyli permutacji) takiego ciągu. A ponieważ permutacji k-elementowych jest

P k = k!

ostatecznie:

$C_n^k = \frac{V_n^k}{P_k} = \frac{n!}{(n-k)!} \cdot {1 \over k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

[edytuj] Pochodzenie wzoru rekurencyjnego

Z każdego zbioru n-elementowego można wybrać tylko jedną kombinację 0-elementową (czyli podzbiór pusty, $\emptyset$ ), stąd liczba kombinacji pustych $C_n^0=1$ .

Z każdego zbioru n-elementowego A można wybrać tylko jedną kombinację n-elementową B (podzbiór niewłaściwy, równy całemu zbiorowi: B=A), stąd liczba takich kombinacji $C_n^n=1$ .

Oba powyższe stwierdzenia dotyczą oczywiście także zbioru pustego $A=\varnothing$ (n=0).

Niech teraz A będzie niepustym zbiorem n-elementowym (n>0). Wyłączymy zeń jeden element, a i oznaczymy pozostały podzbiór (n-1)-elementowy przez A′:

$A'=A\setminus\{a\}$

Wśród wszystkich niepustych kombinacji k-elementowych (k>0) wyróżnić można te, które zawierają element a, i pozostałe, które go nie zawierają.

Każdą k-elementową kombinację K zawierającą a można przedstawić jako unię pewnej (k-1)-elementowej kombinacji K′ i jednoelementowego zbioru {a}. Ponieważ przy tym K′ zawiera się w (n-1)-elementowym A′, to kombinacji takich jest $C_{n-1}^{k-1}$ .
Każda k-elementowa kombinacja nie zawierająca a sama zawiera się w A\{a}, czyli w (n-1)-elementowym zbiorze A′. Zatem kombinacji takich jest $C_{n-1}^k$ .

Stąd ostatecznie dla 0<k<n liczba kombinacji k-elementowych równa jest sumie liczb kombinacji obu rodzajów:

$C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$

[edytuj] Tożsamości algebraiczne

Skracając w definicji czynnik (n-k)! otrzymuje się:

${n \choose k} = \frac{\prod_{i=1}^k n-i+1}{\prod_{i=1}^k i} = \prod_{i=1}^k \frac{n-i+1}{i}$

co dla dodatnich wartości k rozwija się do uproszczonej postaci iteracyjnej:

${n \choose k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}$

Dla k=0 puste iloczyny stają się równe jedności, i w efekcie:

${n \choose 0} = 1.$

Inne tożsamości:

liczba kombinacji dopełniających:

${n \choose k} = {n \choose n-k}$

liczba kombinacji pustych (i dopełniających do pustych):

${n \choose 0} = {n \choose n} = 1$

liczba kombinacji w zbiorze pustym:

${0 \choose 0} = 1$
${n \choose k+1} = {n \choose k} \cdot \frac{n-k}{k+1}$

suma wpółczynników dwumianu Newtona (1+1)ⁿ:

$\sum _{k=0} ^{n} {n \choose k} = 2^n$
$\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}^2 = {2n \choose n}$
$\sum_{k=0}^n (-1)^k \cdot {n \choose k} = 0$
$\sum _{k=1} ^{n} k{n \choose k} = n2^{n-1}$
$\sum_{k=0}^n{r\choose m+k}{s\choose n-k}={r+s\choose m+n}$
${r \choose k} = \frac{r}{k} {r-1 \choose k-1}, k \neq 0$
$(r-k){r \choose k} = r{r-1 \choose k}$

[edytuj] Trójkąt Pascala

Wartości kolejnych symboli Newtona można zapisać w postaci trójkąta Pascala:

 0                     1
 1                   1   1
 2                 1   2   1
 3               1   3   3   1
 4             1   4   6   4   1
 5           1   5   10  10  5   1
 6         1   6   15  20  15  6   1
 7       1   7   21  35  35  21  7   1
 8     1   8   28  56  70  56  28  8   1
 9   1   9   36  84 126 126  84  36  9   1
     . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kolejnym wierszom trójkąta odpowiadają kolejne wartości n, kolejnym wyrazom w każdym wierszu – kolejne wartości k.

Skrajne wyrazy w każdym wierszu równe sa jedności, każdy wyraz (poza skrajnymi) jest sumą dwu wyrazów stojących bezpośrednio nad nim, w poprzednim wierszu. Schemat ten odpowiada wprost wzorowi rekurencyjnemu.

[edytuj] Obliczanie symbolu Newtona

Prosta, a równocześnie dość szybka metoda obliczania wartości współczynnika Newtona opiera się na uproszczonej postaci iteracyjnej:

${n \choose k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}$

oraz spostrzeżeniu o występowaniu czynników pierwszych w ciągu kolejnych liczb naturalnych:

z każdych kolejnych dwu liczb naturalnych jedna jest parzysta (podzielna przez 2),
z każdych kolejnych trzech liczb naturalnych jedna jest podzielna przez 3,
z każdych kolejnych czterech liczb naturalnych jedna jest podzielna przez 4, itd.

To gwarantuje, że z liczb $n$ i $(n - 1)$ jedna jest podzielna przez 2, a więc i iloczyn $n (n - 1)$ jest podzielny przez 2 – można więc obliczyć iloraz $\frac{n(n-1)}2$ , i iloraz ten jest liczbą całkowitą. Z kolei z liczb $n$ , $(n - 1)$ i $(n - 2)$ jedna jest podzielna przez 3, zatem iloczyn $n (n - 1)(n - 2)$ dzieli się przez 3 (prócz tego, że na pewno dzieli się przez 2); zatem obliczony wcześniej iloraz $\frac{n(n-1)}2$ po pomnożeniu przez $(n - 2)$ można podzielić przez 3, a uzyskana wartość ilorazu $\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot 3}$ znów jest liczbą całkowitą.

Tym sposobem, mnożąc i dzieląc na przemian, można obliczyć wartość współczynnika Newtona $C_n^k$ wykonując $k$ mnożeń i tyleż dzieleń całkowitoliczbowych. Dzięki odpowiedniemu uporządkowaniu działań w metodzie tej nie występują ułamki – wszystkie wyniki pośrednie są całkowite, a więc nie ma ryzyka błędów zaokrąglenia.

Przykładowa procedura w Pascalu:

function WspNewtona( n, k : integer ) : integer;
var
    wynik : integer;
    i : integer;
begin
    wynik := 1;

    for i := 1 to k do
        wynik := wynik * (n - i + 1) div i;

    WspNewtona := wynik;
end;

Procedura ta działa szybko i z minimalnym kosztem pamięciowym – wymaga tylko dwu pomocniczych zmiennych (a po dodatkowym usprawnieniu nie potrzebowałaby żadnych). Drobną wadą tego sposobu jest niewielki nadmiar w trakcie obliczeń: maksymalna wartość pośrednia, otrzymana przed ostatnim dzieleniem przez k, jest k-krotnie większa od ostatecznego wyniku. To oznacza, że metody tej nie da się wykorzystać "do granic pojemności" typu całkowitego: maksymalna wiarygodna wartość obliczana tym sposobem zawsze będzie k-krotnie niższa od największej wartości całkowitej dostępnej w danym komputerze, kalkulatorze bądź języku programowania.

Poniżej przedstawiona jest procedura rekurencyjna, pozbawiona tej wady.

function WspNewtonaRek( n, k : integer ) : integer;
begin
    if (k = 0) or (k = n) then
        WspNewtonaRek := 1
    else
        WspNewtonaRek := WspNewtonaRek( n-1, k-1 ) + WspNewtonaRek( n-1, k );
end;

Ten sposób opiera się wprost na rekurencyjnym wzorze:

${n \choose k}=\begin{cases} 1 & \mbox{gdy } k=0 \mbox{ lub } k=n \\ {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} & \mbox{gdy } 0 < k < n \end{cases}$

Procedura ta nie ma wady poprzedniej metody – oblicza końcową wartość bez żadnego nadmiaru w wynikach pośrednich. Niestety, płaci się za to ogromnym kosztem obliczeń. Funkcja przestaje wywoływać samą siebie dopiero gdy zwraca wartość 1 – to oznacza, że obliczenie wartości $C_n^k$ wymaga co najmniej $C_n^k$ wywołań funkcji (bezpośrednich i pośrednich). Złożoność czasowa jest więc nie mniejsza niż wartość funkcji: $\Omega(C_n^k)$ (zobacz Notacja dużego O). Równocześnie, jeśli tylko początkowa wartość k nie jest równa 0 ani n, co najmniej jedna ścieżka rekursji kończy się na wywołaniu WspNewtonaRek(1, 0) albo WspNewtonaRek(1, 1). Ścieżka ta prowadzi przez n poziomów wywołań, w których parametr n był kolejno zmniejszany aż do jedności. Głębokość rekurencji, a zatem złożoność pamięciowa jest więc ściśle liniowa $Θ(n)$ , i to w bardzo wrażliwym obszarze stosu.

Kolejnym krokiem pozwalającym na przyspieszenie obliczeń jest wykorzystanie programowania dynamicznego - można w tabeli przechowywać wyniki obliczeń poszczególnych kroków rekurencji, aby skrócić czas potrzebny na znalezienie danej wartości symbolu. Efektem ubocznym stosowania powyższej metody jest to, że otrzymuje się od razu wszystkie elementy trójkąta Pascala poprzedzające szukaną wartość.

[edytuj] Ograniczenia dla symbolu Newtona

Zachodzą następujące nierówności:

$\mathrm{C}(n, k) \le \frac{n^k}{k!}$

$\mathrm{C}(n, k) \le \left(\frac{n\cdot e}{k}\right)^k$

$\mathrm{C}(n, k) \ge \left(\frac{n}{k}\right)^k.$

[edytuj] Związek z liczbami wielokątnymi

Interesującą własnością symbolu Newtona, wynikającą z rekursywnej definicji, jest fakt, że liczba ${n\choose k}$ jest jednocześnie (n - k + 1) liczbą (k+1)-kątną. Jest to szczególnie dobrze widoczne w trójkącie Pascala, gdzie k-ty od lewej (lub od prawej) rząd liczb tworzą kolejne liczby k-kątne.

[edytuj] Dowód

Dowód opiera się na zasadzie indukcji matematycznej. Sformułujmy twierdzenie w następujący (równoważny) sposób:

Dla naturalnych r≥2 i q≥1, q-ta liczba r-kątna wyrażona jest przez symbol: ${r+q-2\choose r-1}$

Dla r=2 dowodzimy bezpośrednio, korzystając z definicji symbolu Newtona:

${n\choose 2-1}=\frac{n!}{(n-1)!}=n$

Następnie zauważamy, że pierwsza liczba r-kątna jest równa 1 dla każdego r, stąd Drugim krokiem indukcyjnym będzie pokazanie, że jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla r-1 i q, oraz jest prawdziwe dla r i q-1, to jest również prawdziwe dla r i q. Innymi słowy, chcemy wykazać że jeżeli ${(r-1)+q-2\choose{(r-1)-1}}$ jest q-tą liczbą (r-1)-kątną i ${r+(q-1)-2\choose{r-1}}$ jest (q-1)-szą liczbą r-kątną, to ${r+q-2\choose{r-1}}$ jest q-tą liczbą r-kątną. Zauważmy że z własności symbolu Newtona mamy:

${(r-1)+q-2\choose{(r-1)-1}}+{r+(q-1)-2\choose{r-1}}={r+q-3\choose{r-2}}+{r+q-3\choose{r-1}}={r+q-2\choose{r-1}}$

co, wobec własności liczb wielokątnych (q-ta liczba r-kątna jest sumą pierwszych q liczb (r-1)-kątnych) kończy dowód - ${(r-1)+q-2\choose{(r-1)-1}}$ jest (zgodnie z założeniem indukcyjnym) q-tą liczbą (r-1)-kątną, a ${r+(q-1)-2\choose{r-1}}$ jest sumą pierwszych (q-1) liczb (r-1)-kątnych, więc ich suma jest sumą pierwszych q liczb (r-1)-kątnych, czyli q-tą liczbą r-kątną.

Z implikacji tej wprost wynika, że gdy udowodnimy dla dowolnego r i wszystkich naturalnych q prawdziwość twierdzenia, oraz udowodnimy je dla r+1 i q=1, możemy (indukcyjnie) dowieść także dla r+1 i dowolnych naturalnych q, więc, ponieważ pokazaliśmy wcześniej prawdziwość twierdzenia dla r=2 i dowolnych naturalnych q oraz dla q=1 i dowolnych naturalnych r, twierdzenie jest prawdziwe na mocy indukcji matematycznej, czego należało dowieść.

[edytuj] Uogólnienie na wielomiany wyższych stopni

Współczynniki dwumienne można uogólnić do współczynników wielomianowych. Definiuje się je w następujący sposób:

${n\choose k_1,k_2,\ldots,k_r} =\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_r!}$

przy czym:

$\sum_{i=1}^rk_i=n$

Współczynnik dwumienny określa współczynniki wyrażenia: (x+y)ⁿ, podczas gdy współczynniki wielomianowe określają współczynniki wielomianu:

(x₁ + x₂ + ... + x_r)ⁿ.

w następujący sposób:

$(x_1 + x_2 + \cdots + x_r)^n = \sum_{k_1,k_2,\ldots,k_r} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_r} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_r}.$

gdzie sumujemy po wszystkich naturalnych k spełniających podane wcześniej reguły.

Dla k=2 uzyskujemy współczynniki dwumianowe:

${n\choose k_1,k_2}={n\choose k_1, n-k_1}={n\choose k_1}= {n\choose k_2}$

Interpretacja kombinatoryczna współczynników wielomianowych to liczba sposobów rozmieszczenia n rozróżnialnych elementów w r rozróżnialnych pudełkach, z których każde mieści dokładnie k_i elementów, gdzie i jest indeksem pudełka.

Współczynniki wielomianowe mają wiele własności podobnych do własności współczynników dwumianowych, takich jak rekurencja:

${n\choose k_1,k_2,\ldots,k_r} ={n-1\choose k_1-1,k_2,\ldots,k_r}+{n-1\choose k_1,k_2-1,\ldots,k_r}+\ldots+{n-1\choose k_1,k_2,\ldots,k_r-1}$

i symetria:

${n\choose k_1,k_2,\ldots,k_r} ={n\choose k_{\sigma_1},k_{\sigma_2},\ldots,k_{\sigma_r}}$

gdzie $(σ i)$ jest permutacją (1,2,...,r).

[edytuj] Uogólnienie na liczby rzeczywiste i zespolone

Symbol Newtona uogólnia się na liczby rzeczywiste i zespolone korzystając z funkcji specjalnej gamma. Uogólnienie to opiera się na tożsamości:

Γ(n + 1) = n!

spełnionej dla naturalnych wartości n.
Możemy także przyjąć następującą definicję:
Niech $\left.z\right.$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Wówczas przez symbol ${z\choose n}$ będziemy rozumieli wyrażenie