Dyskusja:Liczby zespolone

Z Wikipedii

Spis treści

1 Porządkowanie i weryfikacja
2 Jesli chodzi o to kto pierwszy....
3 Zastosowania liczb zespolonych
4 Wzory na mnożenie i dodawanie
5 historia
6 Dzielenie liczb zespolonych
7 Mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej
8 Literówka
9 trywialnie

[edytuj] Porządkowanie i weryfikacja

Proponuję: "Liczba zespolona - uporządkowana para liczb rzeczywistych z określonymi działaniami.

[definicje działań]

Zbiór wszystkich liczb zespolonych stanowi ciało." (chyba jaśniej jak do encyklopedii?)

Zamiast: "Liczby zespolone, ciało liczb zespolonych - uporządkowane pary liczb rzeczywistych z określonymi działaniami dodawaniem i mnożeniem tworzące ciało."

Uporządkowałem:

definicję
postaci
dodałem sekcję historia (do uzupełnienia)
algebraiczne wł. (do uzupełnienia i uprządkowania)

Na dzisiaj zostawiam. Jest jeszcze sporo do poprawienia w dalszej części artykułu. Midge 22:22, 5 kwi 2006 (CEST)

Poprawiłam (?) za en "intuicyjne" określenie. Lepiej? Trzeba w końcu zrobić ten artykuł. 4^@ 11:58, 9 kwi 2006 (CEST)

IMHO gorzej. Jeśli koniecznie chcesz intuicyjnie to dodaj rozdział: Intuicyjne liczby zespolone. Równie dobrze można byłoby powiedzieć, że liczby zespolone to rozszerzenie liczba naturalnych.

Spierałabym się - poza tym napisałam uogólnienie, nie rozszerzenie. I oczywiście liczby zespolone można traktować jako uogólnienie liczb naturalnych. Nie rozumiem jednak przeskoku N->C, "normalnie" idziemy krok po kroku: N->Z->Q->R->C.

Definicja musi mówić czym to jest. Przygotowuję nawet taki poradnik: Wikipedysta:Midge/Poradnik: Jak napisać dobrą definicję Midge 15:34, 9 kwi 2006 (CEST)

Tak, tylko nie zawsze da się powiedzieć czym coś jest. Zajrzyj tu: Definicja. Pozdro, 4^@ 15:47, 9 kwi 2006 (CEST)

Tak, masz rację, ale my mówimy o definicji w encyklopedii. Więc w definicji okręgu wolałbym widzieć okrąg - figura geometryczna, i dalej dopiero, że to zbiór itd. W przypadku encyklopedii, gdy hasła są z bardzo różnych dziedzin taka leksykonowa definicja "pozycjonuje" Cię w konkretnej dziedzinie. Okrąg to figura geomteryczna (acha, figura, a nie np. organ, roślina, przedmiot, miernik, osoba, zawód, etc.). Midge 19:31, 9 kwi 2006 (CEST)

[edytuj] Jesli chodzi o to kto pierwszy....

Jakieś źródełka, które podają, że Cardano wprowadził liczby zespolone do matematyki? Witold Więsław w "Matematyce i jej historii" nie posunął się do takiego stwierdzenia, rzekłabym nawet, że byłby daleki od niego. Zainteresowanych odsyłam do źródeł. Narka, 4^@ 20:42, 5 kwi 2006 (CEST)

O ile dobrze pamietam, to Cardano w Ars magna podawal przepisy na rozwiazywanie rownan i przyklady ich stosowania. W niektorych przypadkach na pewnym etapie przepisu trzeba bylo uzyc np $\sqrt{-121}$ z czym Cardano nie mial problemu o ile potem sie to z czyms innym skasowalo. Jesli sie nie skasowalo to on nie akceptowal takie rozwiazania. Wiec w pewnym sensie Cardano uzywal liczb zespolonych ale ich nie akceptowal. Jak mi przypomnicie za 2 tygodnie to moge poszukac zrodel. Tymczasem popatrzcie na (bardzo wiarygodne) info z St.Andrews: poczatek tego [1] a takze tutaj [2] Best, Stotr

No tak, ciekawe. Podobnie jak Twoja uwaga - używał, lecz nie akceptował. Zatem nie wprowadził. Idąc za Więsławem wprowadzenie przypisałabym Argandowi, choć poprawną interpretację (wektory) dał wcześniej prawnik Caspar Wessel. Jasne, że wcześniej liczb zespolonych używali i Leibniz, może de Moivre, i oczywiście Euler i d'Alembert. Ale czym innym używać, a czym innym wprowadzić. Pozdro, 4^@ 17:33, 6 kwi 2006 (CEST)

Good point. Przyznam że jeśli masz po ręką ksiażke Więsława i on pisze tak jak Ty podajesz, to ja bym sugerował raczej zgodzić się z Więsławem. On ma/miał dość solidną reputację (sprawdzał fakty etc). Warto byłoby jakoś wspomnieć o Cardanie, ale zaraz przechodząc do innych. Nie jestem pewien jakie sformułowanie byłoby najlepsze. Niestety, tutaj już koniec tygodnia, potem świeta etc i do biblioteki bedę mógl sie wybrać dopiero za dwa tygodnie. Może byś zasugerowała jakieś rozwiązanie? A może mieć taki większy opis jak [3]? Bo ja to nie wiem, jam człek prosty i niewyumiany... Stotr 18:43, 6 kwi 2006 (CEST)

Bo ja to nie wiem, jam człek prosty i niewyumiany... - :-) ... Cóż, mam (a raczej ojciec ma) książkę Więsława - postaram się napisać parę słów na początku przyszłego tygodnia, ale nie daję konkretnego terminu. 4^@ 22:22, 6 kwi 2006 (CEST)

Coś mi wpadło do głowy ale nie wiem czy by to przeszło - może zapytać się wprost Więsława? Może by napisał coś i zgodziłby się na wklejenie tego tutaj? Kto wie, może by nawet wciągnęłoby go to? Pomysł wariacki i nie jestem pewien czy bym się odważył (nieśmiały jestem). ALE jego adres emailowy jest na tej stronie [4].... Stotr 22:43, 6 kwi 2006 (CEST)

No a w "Wykładach z historii matematyki" prof. Kordosa kwestia liczb zespolonych została przedstawiona tak: pierwotną metodę dla równań rtzeciego stopnia wymyślił Tartaglia; jego wynik przywłaszczył sobie Cardano a następnie go udoskonalił i wydał w Ars Magna - używał ich o tyle, że zauważył, że skoro pierwiastkiem jest liczba zespolona to jest i sprzężona z nią, a ponieważ interesujące były wciąż jednak wyniki rzeczywiste, to jest to dobry sposób na znalezienie pierwiastka rzeczywistego (bo jest). Akceptował czy nie - kwestia (również moim zdaniem) światopoglądu: w czasach kiedy za niedobre pomysły można było bardzo źle skończyć, wyskakiwanie z ideą liczb zespolonych to gruby hazard. Natomiast systematycznym podręcznik do algebry wykorzystujący liczby zespolone napisał niejaki Rafael Bombelli (o którym nic więcej nie wiadomo) i specjalnie nie widzi w tych liczbach problemu. Szukanie więc twórcy liczb zespolonych później jest - w kontekście tego źródła - niepotrzebne. nimdil 13:12, 25 kwi 2006 (CEST)

[edytuj] Zastosowania liczb zespolonych

Ta część o zastosowaniach jest trochę chaotyczna. Praktycznie wszędzie w fizyce, chemii i technice używa się liczb zespolonych (wszędzie tam, gdzie R nie wystarcza).

Poza tym poniższe stwierdzenie jest w pewnym sensie nieprawdziwe:

Wśród liczb zespolonych dają się wyróżnić:

Bo czy liczba (1,0) jest liczbą naturalną? Owszem zbiór liczb zespolonych o postaci

(k,0), gdzie k \in N jest izomorficzny ze zbiorem N jednak trudno to ściśle zapisać.

To samo z pozostałymi przykładami. Jako nieścisłe ja bym stąd wyrzucił (przecież np. liczby rzeczywiste formalnie nie są podziorem liczb zespolonych).

Midge 19:06, 6 kwi 2006 (CEST)

To jest tak: niech ${\mathbb N},{\mathbb Z},{\mathbb Q},{\mathbb R}\setminus{\mathbb Q}, {\mathbb P},{\mathbb A}, {\mathbb R}, i{\mathbb R}$ oznaczają zbiory odpowiednich liczb na liście powyżej, oraz niech ${\mathbb C}$ bedzie zbiorem liczb zespolonych. Wówczas zachodzą następujące inkluzje:

${\mathbb N}\subseteq {\mathbb Z}\subseteq{\mathbb Q}\subseteq {\mathbb A}\subseteq {\mathbb R}$
	$\subseteq{\mathbb C}$
${\mathbb P}\subseteq{\mathbb R}\setminus{\mathbb Q}\subseteq {\mathbb R}$

Jak to możliwe? Ano odpowiednie klasy liczb są konstruowane tak aby powyższe relacje zachodziły. Zacznijmy od początku: umówmy sie że liczby naturalne są dane. Czym są liczby całkowite? liczba całkowita to para uporządkowana

( * , n)

gdzie $*\in\{+,-\}$ . Iterpretacje wszystkiego idą naturalnie (coś powinniśmy zrobić z zerem czyli utożsamiamy

( + ,0)

( - ,0)

) ale teraz: liczby całkowite są parami, więc dlaczego ${\mathbb N}\subseteq {\mathbb Z}$ ? My utożsamiamy pary

( + , n)

z liczbami

n

. Albo decydujemy że liczby naturalne to coś innego niż byo na początku. Albo mówimy że cała nasza konstrukcja była zrobiona tak że zamiast

( + , n)

użyliśmy

n

. Cokolwiek nie wybierzemy, od tego momentu myślimy że ${\mathbb N}\subseteq {\mathbb Z}$ I takie podejscie się potem powtarza przy wymiernych i przy rzeczywistych i przy zespolonych. Bo my chcemy własnie miec te wszytskie inkluzje (nie tylko zanurzenia izomorficzne). Czy to co piszę brzmi sensownie? Stotr 20:07, 6 kwi 2006 (CEST)

PS: Masz racje że ta sekcja o zastosowaniach jest chaotyczna albo i gorzej. W ogóle to wersja angielska tego hasła jest lepsza.

Tak, to brzmi rozsądnie. Masz rację, że faktyczne zawieranie się zbiorów różnych liczb zależy od konstrukcji tych zbiorów, a o zbiorach liczb należy myśleć z dokładnością do izomorfizmu. Chyba to też nie jest ten artykuł, w którym należałoby tłumaczyć te onstrukcje. Ja chciałem zamienić daje się wyróżnić na zawiera się i się na chwilę zawahałem :-) Midge 21:03, 6 kwi 2006 (CEST)

A wiesz, może dobrze byłoby to gdzieś wyjaśnić. Jeśli nie tu, to może byloby milo mieć hasło konstrukcja liczb? Z tym że ja się na razie nie podejmuję tego pisać, choć bardzo chętnie bym się czepiał etc hasła napisanego przez kogoś innego... :-) Stotr 21:27, 6 kwi 2006 (CEST)

Takie hasło by się przydało. Konstrukcji liczb jest zdaje się kilka, różniących się detalami, więc nawet zbieranie tego w jednym miejscu i odwoływanie się byłoby pożyteczne. Midge 13:45, 7 kwi 2006 (CEST)

Nazwijmy i lub j (lepiej j) operatorem obrotu o kąt 90 stopni.

[edytuj] Wzory na mnożenie i dodawanie

Chyba lepiej byłoby najpierw zdefiniować podstawowe oznaczenia, a dopiero potem podać wzory na mnożenie i dodawanie? --Zureks 12:17, 12 cze 2006 (CEST)

[edytuj] historia

w liczbach urojonych wspomniany jest Kartezjusz, tutaj bodajże Cardano – ktoś chciałby to zrewidować? ja zaś słyszałem, że samo oznaczenie i pochodzi od Eulera. Można też coś napisać o Imaginaris i Realis

konrad 16:27, 6 lip 2006 (CEST)

[edytuj] Dzielenie liczb zespolonych

Wg mnie występuje pewna nieścisłość odnośnie dzielenia. Działanie to oraz przedstawiony wzór nie wywodzą się wprost z mnożenia a przynajmniej nie w takiej formie jak jest w artykule. Należałoby najpierw wspomnieć o liczbie sprzężonej a dopiero później wyprowadzić wzór.

${a + bi \over c + di} = {{a + bi \over c + di} \cdot {c - di \over c - di}} = {(ac + bd) + (bc - ad)i \over c^2 + d^2}$

Webprog 21:32, 10 paź 2006 (CEST)

Dzielenie wynika wprost z faktu, że l.zesp. są ciałem. Sprzężenie zespolone nie ma tu nic do rzeczy (nie musi ono istnieć, by mówić o liczbach odwrotnych ze względu na dane działanie). To, co napisałeś, to rachunkowy sposób przedstawienia dzielenie i nadaje się bardziej do wikibooks niż do encyklopedii (np. przy okazji dowodzenia, że l. zesp. są ciałem).

Midge 10:00, 11 paź 2006 (CEST)

Przyznaję Panu rację jeśli chodzi o dzielenie. Uważam jednak, że zwykłe napisanie, że coś wynika z czegoś (jak w art., że dzielenie wynika z mnożenia) nie jest wystarczające. Przydałoby się choć wyprowadzić to przekształcając iloczyny czy w jakiś inny sposób. Artykuł czytają użytkownicy o różnym stopniu wtajemniczenia w matematykę w większości pewnie tacy, którzy szukając czegoś o l. zesp. trafili na Wikipedię. Czy nie należałoby im ułatwic tego pierwszego kontaktu? Pozdrawiam Webprog 01:18, 13 paź 2006 (CEST)

[edytuj] Mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej

Wg. mnie to dosyć przydatny fakt. :) Czemu znajduje się dopiero na stronie argument liczby zespolonej? Wiem, że wszystko nie może być w jednym artykule, bo utrudniałoby tylko czytanie, ale niektóre rzeczy są ważne czy nawet bardzo ważne z dydaktycznego punktu widzenia.

właściwie jak mawia jeden z moich profesorów "to nie jest żadna wielka mądrość" – wystarczy pamiętać co to jest dzielenie ( ${x \over y} = x \cdot y^{-1}$ ) i zastanowić się jak będzie wyglądała odwrotność liczby zespolonej ( $y - 1$ ).

[edytuj] Literówka

hmm... ja sie tego dopiero uczę wiec żadnych zmian nie chce dokonywać bo mogę coś namieszacz (tym bardziej że nie należę do spoleczności Wikipedystów ) ale mam takie małe ale :

czy w postaci trygonometrycznej liczby zespolonej nie powinno być arcsin zamiast arctg ? chodzi mi o te przypadki przy przechodzeniu z postaci zwyklej na trygonometryczną.

Jeśli się przyda to proszę o kontakt na zer0@brist.pl (proszę poprawcie mi humor i przekonajcie mnie ze trochę to przynajmniej rozumiem :P)

[edytuj] trywialnie

ja nie rozumiem dlaczego w kilku zdaniach pod rząd ktos uzywa slowa trywialne? dla kogos cos moze byc proste dla drugiego trudne... wiec to jest zdanie subiektywne. mysle nie powinno sie uzywac takich slow bez racjonalnego uzasadnienia

Słusznie, ktoś przesadził. Usunąłem te "trywializmy". Olaf @ 14:20, 18 lis 2007 (CET)

To taki tik zauważalny u matematyków :P, wszyscy profesorowie tego używają i to przerzuca sie na studentów :P

We provide Linux to the World