Liczba nieosiągalna

Z Wikipedii

Liczba nieosiągalna - regularna graniczna liczba kardynalna. Regularne silnie graniczne liczby kardynalne nazywane są liczbami silnie nieosiągalnymi. Liczby nieosiągalne są najprostszymi przykładami tzw. dużych liczb kardynalnych.

Istnieją pewne niekonsekwencje w terminologii dotyczącej liczb nieosiągalnych. Niektórzy autorzy używają nazwy liczby słabo nieosiągalne na oznaczenie granicznych liczb regularnych rezerwując nazwę liczba nieosiągalna dla silnie granicznych regularnych liczb kardynalnych.

[edytuj] Definicje

Przypomnijmy, że:

liczba porządkowa $α$ jest początkową liczbą porządkową jeśli $α$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe są też nazywane liczbami kardynalnymi.
Dla liczby kardynalnej $κ$ określamy:

κ +

jest pierwszą liczbą kardynalną większą od

κ

(jest to tzw następnik $κ$ ),

2 κ

jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów

κ

Liczba kardynalna $κ$ jest regularną liczbą kardynalną jeśli dla każdej rodziny zbiorów $\{A_i:i\in I\}$ takich że $| A i | < κ$ dla wszystkich $i\in I$ oraz $| I | < κ$ mamy, że $\left|\bigcup\limits_{i\in I} A_i\right|<\kappa$ .
Liczba kardynalna $κ$ jest graniczną liczbą kardynalną jeśli $κ$ jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej $μ < κ$ mamy $μ + < κ$ . Powiemy, że $κ$ jest silnie graniczną liczbą kardynalną jeśli $κ$ jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej $μ < κ$ mamy $2 μ < κ$ .

Nieprzeliczalna liczba kardynalna $κ$ jest (słabo) nieosiągalna jeśli jest ona graniczna i regularna, a jest nazywana liczbą silnie nieosiągalną jeśli jest ona silnie graniczna i regularna.

[edytuj] Własności i przykłady

Definicja liczb nieosiągalnych jest sformułowana dla liczb nieprzeliczalnych tylko aby wyeliminować trochę patologiczny przypadek pierwszej nieskończonej liczby kardynalnej $\aleph_0$ , która jest regularna i silnie graniczna. Podobieństwo liczb nieosiągalnych do liczby $\aleph_0$ jest czasami wyrażane w stwierdzeniu, że liczby nieosiągalne mają się do liczb mniejszych tak jak $\aleph_0$ ma się do liczb skończonych.
Jeśli $κ$ jest liczbą nieosiągalną, to $\aleph_\kappa=\kappa$ .
Jeśli $κ$ jest liczbą silnie nieosiągalną, to $\beth_\kappa=\kappa$ .
Jeśli GCH jest spełnione, to każda liczba (słabo) nieosiągalna jest silnie nieosiągalna.
W ZFC, jeśli $κ$ jest liczbą silnie nieosiągalną, to V_κ jest modelem ZFC. Zakładając ZF, jeśli $κ$ jest liczbą (słabo) nieosiągalną, to L_κ jest modelem ZFC. Zatem "ZF+ istnieje liczba nieosiągalna" implikuje, że "ZFC jest niesprzeczne". Na mocy drugiego twierdzenia Gödla o niezupełności, nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby nieosiągalne.
Jeśli istnieją liczby nieosiągalne i $κ$ jest pierwszą taką liczbą, to L_κ jest modelem dla "ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne". Zatem jeśli teoria ZF jest niesprzeczna, to także teoria "ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne" jest niesprzeczna.