Metoda Gaussa
Z Wikipedii
Metoda (eliminacji) Gaussa – jedna z najszybszych metod rozwiązywania układów równań liniowych, obliczania rzędu macierzy, obliczania macierzy odwrotnej oraz obliczania wartości wyznacznika. Metoda Gaussa używa operacji elementarnych. Nazwa metody pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa.
Spis treści |
[edytuj] Obliczanie rzędu macierzy
Obliczając rząd macierzy metodą Gaussa należy, za pomocą operacji elementarnych na wierszach sprowadzić macierz do macierzy schodkowej. Wtedy wszystkie niezerowe wiersze są liniowo niezależne i można łatwo odczytać rząd macierzy.
[edytuj] Przykład
Przykładowo: macierz A poprzez dokonanie operacji elementarnych:
odjęcia wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza,
zamiany 2. i 3. wiersza,
odjęcia wiersza 2. od wiersza 4.
odjęcia 3. wiersza od 4. wiersza
sprowadzono do macierzy schodkowej. Rząd tej macierzy łatwo odczytać, bowiem jest on równy liczbie jej "schodków", czyli liczbie wierszy pomniejszonej o liczbę wierszy zerowych. W tym przypadku rząd macierzy A równy jest 3.
[edytuj] Rozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązując układ m równań liniowych z n niewiadomymi należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz rozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnie należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego. Jeżeli układ nie jest sprzeczny, to zbiór rozwiązań układu wyjściowego jest równy zbiorowi rozwiązań układu reprezentowanego przez powstałą schodkową macierz rozszerzoną.
[edytuj] Przykład
Układ wyjściowy:
Macierz rozszerzona tego układu:
Sprowadzając do postaci schodkowej (za pomocą operacji kolejno: odjęcia wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza, zamienienia 2. i 3. wiersza, odjęcia 2. wiersza od 4. wiersza, odjęciu 3. wiersza od 4. wiersza):
Rząd macierzy głównej
jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej
czyli równy 3.
Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru. Rozwiązujemy układ:
Przyjmując parametr za i rozwiązując układ od dołu uzyskujemy:
Zatem rozwiązaniem układu są czwórki:
- ,
gdzie jest dowolnym elementem z ciała, w którym szuka się rozwiązania (na przykład, ).
[edytuj] Obliczanie macierzy odwrotnej
Aby obliczyć macierz odwrotną macierzy nieosobliwej o stopniu n należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz blokową do postaci . Powstała macierz B jest szukaną macierzą odwrotną do macierzy A. Symbolicznie można zapisać:
[edytuj] Przykład
Wyjściowa macierz:
Jej wyznacznik jest równy 2, czyli macierz odwrotna istnieje. Macierz blokowa ma postać:
Wykonując operacje elementarne na wierszach (kolejno: odejmując wielokrotność 1. wiersza od 2. wiesza, mnożąc 2. wiersz przez 7/2 oraz dzieląc 1. wiersz przez 7, odejmując wielokrotność 2. wiersza od 1. wiersza) dostaje się postać
- :
Zatem macierzą odwrotną do macierzy
jest macierz: