Nierówność Cauchy'ego-Schwarza

Z Wikipedii

Nierówność Cauchy'ego-Schwarza — zwana też nierównością Schwarza, Buniakowskiego-Schwarza lub Cauchy'ego-Buniakowskiego-Schwarza. Podstawowa nierówność dla iloczynu skalarnego w przestrzeni wektorowej.

Niech (x,y) oznacza iloczyn skalarny wektorów x i y danej przestrzeni wektorowej. Nierówność Schwarza mówi, że:

$|(x,y)|\le\sqrt{(x,x)}\cdot\sqrt{(y,y)}$

Rozpatrując odpowiednie przestrzenie wektorowe i określone w nich iloczyny skalarne otrzymamy specjalne postaci nierówności Schwarza.

Przykłady:

w przestrzeni Rⁿ standardowy iloczyn skalarny (x₁, x₂, ..., x_n)·(y₁, y₂, ..., y_n) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_ny_n daje klasyczną nierówność:

$|x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n|\le\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}\sqrt{y_1^2+y_2^2+\dots+y_n^2}$

w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku [0,1] z iloczynem

$\int\limits_0^1 f(x)\cdot g(x)\mathrm{d}x$

mamy kolejną klasyczną nierówność:

$\int\limits_0^1 |f(x)\cdot g(x)|\mathrm{d}x\le \sqrt{\int\limits_0^1 f^2(x)\mathrm{d}x}\sqrt{\int\limits_0^1 g^2(x)\mathrm{d}x}$

Ogólnie:
Dla funkcji f i g należących do przestrzeni L²(X) iloczyn fg należy do przestrzeni L¹(X) oraz:

$\|fg\|_1 \le \|f\|_2 \|g\|_2.$

Nierówność Schwarza dla ustalonego iloczynu skalarnego z L² jest tożsama Nierówności Höldera dla p = q = 2.

[edytuj] Dowód

[edytuj] W przestrzeni Rⁿ

Nierówność:

$(\sum_{i=1}^na_i^2)(\sum_{i=1}^nb_i^2)\geq (\sum_{i=1}^na_ib_i)^2$

jest oczywiście prawdziwa dla n=1.

Założmy indukcyjnie, że jest ona prawdziwa dla n.

Z nierówności o ciągach jednomonotonicznych dla a_n+1b_i oraz b_n+1a_i wynika w oczywisty sposób:

$a_{n+1}^2b_i^2+b_{n+1}^2a_i^2\geq 2a_{n+1}b_{n+1}a_ib_i$

dla dowolnych a, b. Po zsumowaniu podobnych nierówności obustronnie dla naturalnych i nie większych niż n uzyskujemy nierówność:

$a_{n+1}^2\left(\sum_{i=1}^nb_i^2\right) +b_{n+1}^2\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right) \geq 2a_{n+1}b_{n+1}\left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)$

Po dodaniu nierówności z założenia indukcyjnego powiększonej obustronnie o $a^2_{n+1}b^2_{n+1}$ uzyskujemy:

$(\sum_{i=1}^na_i^2)(\sum_{i=1}^nb_i^2)+a_{n+1}^2\left(\sum_{i=1}^nb_i^2\right) +b_{n+1}^2\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right) +a_{n+1}^2b_{n+1}^2 \geq (\sum_{i=1}^na_ib_i)^2+2a_{n+1}b_{n+1}\left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)+a_{n+1}^2b_{n+1}^2$

co po zredukowaniu daje tezę:

$(\sum_{i=1}^{n+1}a_i^2)(\sum_{i=1}^{n+1}b_i^2)\geq (\sum_{i=1}^{n+1}a_ib_i)^2$

co kończy dowód.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Nierówności • Analiza funkcjonalna

We provide Linux to the World

Nierówność Cauchy'ego-Schwarza

Z Wikipedii

[edytuj] Dowód

[edytuj] W przestrzeni Rⁿ

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach

We provide Linux to the World

Nierówność Cauchy'ego-Schwarza

Z Wikipedii

[edytuj] Dowód

[edytuj] W przestrzeni Rn

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach

[edytuj] W przestrzeni Rⁿ