Nierówność trójkąta
Z Wikipedii
Definicja intuicyjna:
Żartobliwe określenie: odległość z miejsca pracy bezpośrednio do domu jest mniejsza niż z miejsca pracy do domu zahaczając po drodze o pub.
Nierówność trójkąta – twierdzenie matematyczne mówiące, że dla dowolnego trójkąta, miara jednego boku musi być mniejsza lub równa sumie miar dwóch pozostałych, ale większa lub równa od różnicy ich miar. W obu przypadkach równości zachodzą dla trójkątów zdegenerowanych, czyli mających postać odcinka: jeden kąt ma wówczas 180°, dwa pozostałe 0°.
Nierówność trójkąta nie ogranicza się do płaszczyzny, lecz obowiązuje dla przestrzeni liczb rzeczywistych, euklidesowych, przestrzeni Lp (p ≥ 1) i unitarnych. Występuje ona także jako aksjomat w definicjach struktur analizy matematycznej i funkcjonalnej takich jak przestrzeń unormowana, czy przestrzeń metryczna.
Spis treści |
[edytuj] Przestrzeń unormowana
W przestrzeni unormowanej V nierówność trójkąta dana jest wzorem
,
czyli norma sumy dwóch wektorów jest równa co najwyżej sumie norm dwóch wektorów. Własność ta nazywana jest też podaddytywnością.
Dla liczb rzeczywistych, które są przestrzenią unormowaną za pomocą wartości bezwzględnej nierówność trójkąta ma następującą postać, prawdziwą dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y:
Z powyżej nierówności korzysta się, aby uzyskać jak najlepsze oszacowanie sumy dwóch liczb za pomocą ich wielkości. Istnieje również oszacowanie dolne, które może można wyznaczane jest za pomocą odwrotnej nierówności trójkąta, która mówi, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y
Jeżeli norma indukowana jest przez iloczyn skalarny (jak ma to miejsce w przestrzeniach euklidesowych), nierówność trójkąta wynika z nierówności Cauchy'ego-Schwarza.
[edytuj] Przestrzeń metryczna
W przestrzeni metrycznej (X, d) nierówność trójkąta wyrażona jest za pomocą metryki:
- d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) dla każdego x, y, z ∈ X
tj. odległość od x do z jest nie większa niż suma odległości od x do y oraz od y do z.
[edytuj] Wnioski
W przeciwieństwie do nierówności trójkąta następujące wnioski dają ograniczenia dolne zamiast górnych.
; dla metryki: d(x, y) - d(x, z) ≤ d(y, z)
Powyższe nierówności oznaczają, że norma 
oraz metryka d(x, ·) są lipschitzowskie, a zatem ciągłe.
[edytuj] Przestrzeń Minkowskiego
W standardowej czasoprzestrzeni Minkowskiego i w czasoprzestrzeni Minkowskiego rozszerzonej o dowolną liczbę wymiarów przestrzennych, założywszy uprzednio, iż wektory zerowe i czasopodobne mają ten sam kierunek, nierówność trójkąta ulega odwróceniu:
- ||x + y|| ≥ ||x|| + ||y|| dla każdego x, y ∈ V takich, że ||x||, ||y|| ≥ 0 i tx ty ≥ 0
Przykładem tej nierówności jest jest paradoks bliźniąt w szczególnej teorii względności.
