Opisowa teoria mnogości

Z Wikipedii

Opisowa teoria mnogości – poddziedzina teorii mnogości poświęcona badaniom definiowalnych podzbiorów przestrzeni polskich. Rozwinęła się w pierwszej połowie XX wieku na styku teorii funkcji rzeczywistych, topologii, teorii miary i logiki matematycznej.

W klasyfikacji MSC 2000 badań naukowych w matematyce (prowadzonej przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne) opisowa teoria mnogości oznaczana jest kodem 03E15.

Klasycznymi źródłami informacji w tej dziedzinie matematyki są monografie Yiannisa Moschovakisa^[1] oraz Aleksandra Kechrisa^[2]. Z literatury dostępnej w języku polskim należy wymienić monografię Kazimierza Kuratowskiego i Andrzeja Mostowskiego^[3], a także książkę Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego^[4].

Spis treści

1 Klasy zbiorów punktowych w przestrzeniach polskich
2 Wybrane własności klas punktowych
3 Regularność klas punktowych
4 Definiowalne relacje równoważności
- 4.1 Definicje
- 4.2 Podstawowe własności
5 Zobacz też
6 Przypisy

[edytuj] Klasy zbiorów punktowych w przestrzeniach polskich

Podstawowymi klasami zbiorów badanych w klasycznej opisowej teorii mnogości są zbiory borelowskie oraz szersza klasa zbiorów rzutowych i ich efektywne wersje. Własności tych klas mogą być interesujące nawet dla matematyków nastawionych na skrajną konstruowalność.

Funkcje rozważane w opisowej teorii mnogości są zwykle mierzalne względem σ-ciała zbiorów borelowskich (czyli są to funkcje borelowskie). Wśród funkcji borelowskich wyróżnia się izomorfizmy borelowskie, czyli bijekcje pomiędzy przestrzeniami polskimi, które są borelowskie i dla których funkcja odwrotna też jest borelowska. Powiązanymi (i badanymi) klasami funkcji są też klasy Baire'a.

Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne, co więcej - każda przestrzeń polska jest ciągłym różnowartościowym obrazem domkniętego podzbioru przestrzeni Baire'a ${\mathcal N}$ . Często dowody przeprowadza się właśnie w przestrzeni Baire'a ${\mathcal N}$ (która jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych), ale rozważania są też prowadzone w innych doskonałych przestrzeniach polskich i każdą z nich traktuje się jak prostą rzeczywistą. To podejście pozwala zawsze ustalić taką przestrzeń, dla której nasz dowód jest najbardziej elegancki, a jednocześnie pozwala formułować twierdzenia tak, że mówią o najbardziej popularnym obiekcie w matematyce: prostej.

Przypomnijmy definicje klas borelowskich i rzutowych. Niech X będzie przestrzenią polską.

Borelowskie podzbiory X

Przez indukcję po liczbach porządkowych $0 < α < ω 1$ definiujemy rodziny $\Sigma^0_\alpha(X)=\Sigma^0_\alpha$ , $\Pi^0_\alpha(X)=\Pi^0_\alpha$ oraz $\Delta^0_\alpha(X)=\Delta^0_\alpha$ podzbiorów przestrzeni X:

$\Sigma^0_1$ jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów X, $\Pi^0_1$ , to rodzina wszystkich dopełnień zbiorów z $\Sigma^0_1$ (czyli jest to rodzina zbiorów domkniętych). Ponadto kładziemy $\Delta^0_1=\Sigma^0_1\cap \Pi^0_1$ , czyli $\Delta^0_1$ jest rodziną wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów X.
Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już $\Sigma^0_\beta,\Pi^0_\beta,\Delta^0_\beta$ dla $0 < β < α$ . Określamy:

$\Sigma^0_\alpha$ jest rodziną wszystkich zbiorów postaci $A=\bigcup\limits_{n=0}^\infty A_n$ , gdzie $A_n\in \bigcup\limits_{\beta<\alpha}\Pi^0_\beta$ (dla wszystkich n),

$\Pi^0_\alpha$ jest rodziną wszystkich zbiorów $A\subseteq X$ takich, że $X\setminus A\in \Sigma^0_\alpha$ ,

$\Delta^0_\alpha=\Sigma^0_\alpha\cap \Pi^0_\alpha$ .

Elementy rodziny $\bigcup_{\alpha<\omega_1}\Sigma^0_\alpha(X)$ nazywamy borelowskimi podzbiorami przestrzeni $X$ .

Rzutowe podzbiory X

Przez indukcję po liczbach naturalnych $n\in {\mathbb N}$ klasy $\Sigma^1_n(X)=\Sigma^1_n$ oraz $\Pi^1_n(X)=\Pi^1_n$ :

$\Sigma^1_1$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X\times{\mathcal N}$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\}$ ,
$\Pi^1_1$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że $X\setminus A\in \Sigma^1_1$ ,
$\Sigma^1_{n+1}$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego $B\in\Pi^1_n(X\times{\mathcal N})$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\}$ ,
$\Pi^1_{n+1}$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że $X\setminus A\in \Sigma^1_{n+1}$ .

Definiujemy również $\Delta^1_n(X)=\Sigma^1_n(X)\cap \Pi^1_n(X)$ .

Elementy rodziny $\bigcup_{n<\omega}\Sigma^1_n(X)$ nazywamy rzutowymi podzbiorami przestrzeni $X$ .

[edytuj] Wybrane własności klas punktowych

Niech X będzie przestrzenią polską.

Zachodzą następujące inkluzje (gdzie " $\subseteq$ " jest reprezentowane przez strzałkę " $\longrightarrow$ "):

$\Sigma^0_\alpha$

$\Sigma^0_\beta$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\Delta^0_\alpha$

$\Delta^0_\beta$

$\Delta^0_{\beta+1}$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\Pi^0_\alpha$

$\Pi^0_\beta$

dla wszystkich $α < β < ω 1$ oraz

$\Sigma^1_1$

$\Sigma^1_2$

$\ldots$

$\Sigma^1_n$

$\Sigma^1_{n+1}$

$\ldots$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\Delta^1_1$

$\Delta^1_2$

$\Delta^1_3$

$\ldots$

$\Delta^1_n$

$\Delta^1_{n+1}$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\Pi^1_1$

$\Pi^1_2$

$\ldots$

$\Pi^1_n$

$\Pi^1_{n+1}$

$\ldots$

Jeśli przestrzeń X jest nieprzeliczalna, to wszystkie inkluzje powyżej są właściwe.
$\Delta^1_1(X)$ jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni X. Jest to σ-ciało podzbiorów X.
Ciągły różnowartościowy obraz borelowskiego podzbioru przestrzeni polskiej jest zbiorem borelowskim.
Każdy zbiór klasy $\Sigma^1_2$ jest sumą $\aleph_1$ zbiorów borelowskich.
Twierdzenie uniformizacyjne Kondo-Nowikowa: Jeśli $X, Y$ są przestrzeniami polskimi oraz $A\in\Pi^1_1(X\times Y)$ , to można wybrać zbiór $B\in \Pi^1_1(X\times Y)$ zawarty w $A$ i taki, że dla wszystkich $x\in X$

$(\exists y\in Y)((x,y)\in A)\ \Leftrightarrow\ (\exists ! y\in Y)((x,y)\in B)$ .

(Powyżej kwantyfikator $\exists !$ oznacza istnieje dokładnie jeden).

[edytuj] Regularność klas punktowych

Pytania dotyczące regularności klas punktowych są w centrum zainteresowań opisowej teorii mnogości. Regularność może mieć wiele znaczeń i może odnosić się do mierzalności w sensie Lebesgue'a, własności Baire'a, własności Ramseya, własności zbioru doskonałego i innych własności tego typu. Przykładowe twierdzenia dotyczące tej tematyki to:

wszystkie zbiory klasy $\Sigma^1_1$ mają własność Baire'a i są mierzalne w sensie Lebesgue'a,
każdy zbiór klasy $\Sigma^1_1$ jest albo przeliczalny, albo zawiera podzbiór doskonały,
każdy $\Sigma^1_1$ podzbiór przestrzeni $[ω] ω$ nieskończonych podzbiorów $ω$ ma własność Ramsey'a,
jeśli wszystkie zbiory klasy $\Sigma^1_2$ są mierzalne, to wszystkie zbiory klasy $\Sigma^1_2$ mają własność Baire'a,
jeśli założymy aksjomat determinacji rzutowej PD, to wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire'a i są mierzalne w sensie Lebesgue'a oraz każdy nieprzeliczlany zbiór rzutowy zawiera podzbiór doskonały,
jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to stnieje $\Delta^1_2$ podzbiór prostej, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i który nie ma własności Baire'a, oraz istnieje nieprzeliczalny zbiór klasy $\Pi^1_1$ , który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.

Dla szerszego przeglądu tej tematyki odsyłamy czytelnika do monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha^[5].

[edytuj] Definiowalne relacje równoważności

W ostatnich latach kluczowe badania dotyczą definiowalnych relacji równoważności oraz działań grup (przede wszystkim grup polskich, tzn. grup topologicznych będących przestrzeniami polskimi)^[6].

[edytuj] Definicje

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami polskimi.

Relacja E na przestrzeni X jest borelowska (analityczna, itd.), jeśli jest ona borelowskim (analitrycznym, itd) podzbiorem przestrzeni $X\times X$ .
Przypuśćmy, że E jest relacją równoważności na X, a F jest relacją równoważności na Y. Powiemy, że relacja E jest borelowsko redukowalna do F, jeśli istnieje funkkcja borelowska $f:X\longrightarrow Y$ taka, że

$\Big(\forall x,y\in X\Big)\Big(x\;E\;y\ \ \Leftrightarrow\ \ f(x)\;F\;f(y)\Big)$ .

W powyższej sytuacji piszemy $E\leq_B F$ .

Relacja borelowskiej redukcji $\leq_B$ jest konceptualnie bliska pojęciu bycia mocy nie większej niż. Jeśli $E\leq_B F$ , to mamy "świadka" na nierówność $|X/E|\leq |Y/F|$ , który może być "podniesiony" do borelowskiego odwzorowanika z X do Y.

Jeśli $E\leq_B F$ oraz $F\leq_B E$ , to powiemy, że przestrzenie ilorazowe $X / E$ i $Y / F$ mają tę samą moc borelowską . Piszemy wówczas $E ˜ B F$ .

[edytuj] Podstawowe własności

Przy badaniu definiowalnych relacji równoważności utożsamia się każdą przestrzeń polską z relacją równości określonej na tej przestrzeni. Zwyczajowo też używa się symbolu $E 0$ na oznaczenie następującej relacji na liczbach rzeczywistych:

$x\; E_0\; y$ wtedy i tylko wtedy, gdy różnica

x - y

jest liczbą wymierną.

${\mathbb R}<_B E_0$ (tzn, ${\mathbb R}\leq _B E_0$ , ale $E_0\not\leq_B {\mathbb R}$ ).
Jeśli E jest relacją równoważności klasy $\Pi^1_1$ , to

albo $E\leq_B {\mathbb N}$ lub ${\mathbb R}\leq_B E$

Jeśli E jest borelowską relacją równoważności, to

albo $E\leq_B {\mathbb R}$ lub $E_0\leq_B E$

Dla każdej borelowskiej relacji równoważności E istnieje borelowska relacja równoważności F taka, że $E < B F$ .
Wśród borelowskich relacji równoważności o przeliczalnych klasach abstrakcji istnieje element $\leq_B$ -największy. W tej samej rodzinie relacji można wybrać nieprzeliczalnie wiele parami $\leq_B$ -nieporównywalnych relacji.

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

↑ Yiannis N Moschovakis: Descriptive set theory. Amsterdam-New York: North-Holland Publishing Co., 1980, seria: Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 100. ISBN 0-444-85305-7.
↑ Alexander S Kechris: Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9.
↑ Andrzej Kuratowski, Mostowski: Teoria mnogości: wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Wyd. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Monografie Matematyczne, 27.
↑ Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: 1978.
↑ Tomek Bartoszyński, Haim Judah: Set theory. On the structure of the real line. Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 1995. ISBN 1-56881-044-X.
↑ Kechris, Alexander S. New directions in descriptive set theory. Bull. Symbolic Logic, 5, 161-174. 1999.

Kategoria: Teoria mnogości

We provide Linux to the World

Opisowa teoria mnogości

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Klasy zbiorów punktowych w przestrzeniach polskich

[edytuj] Wybrane własności klas punktowych

[edytuj] Regularność klas punktowych

[edytuj] Definiowalne relacje równoważności

[edytuj] Definicje

[edytuj] Podstawowe własności

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach