3-variedad

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En topología de dimensiones bajas las 3-variedades son un campo que estudia a los espacios topológicos de tres dimensiones. Es decir espacios de Hausdorff que son localmente homeomorfos al espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ .

Se sabe que en las categorías topológica, diferenciable y P.L. son todas equivalentes para el caso de 3-variedades, así que poca distinción se presta a que categoría se está usando.

Esta parte de la matemática tiene una extrecha conexión con otros campos de estudio tales como las superficies, las 4-variedades, la teoría de nudos, las teorías de campo cuántico, las teorías de calibración y las ecuaciones en derivadas parciales. Se dice también que la teoría de 3-variedades es parte de la topología geométrica.

Una idea clave para estudiar estos objetos es considerar superficies encajadas en ellos. Esto conduce a la idea de superficie incompresible (incompressible surface) y la teoría de variedades de Haken, o uno puede elegirlas de tal modo que las piezas complementarias son menos complejas, lo cual conduce a la noción de jerarquías o a las descomposiciones de Heegaard.

[editar] Ejemplos sin frontera

Como primeras muestras de la gran variedad de objetos, pensemos en espacios compactos y sin frontera: Un primer ejemplo, la 3-esfera $S^3 \,$ . Otro más es el espacio proyectivo $\mathbb{R}P^3$ . Es posible obtener espacios de tres dimensiones con el producto cartesiano:

$S^2\times S^1$

$\mathbb{R}P^2\times S^1$

$T\times S^1$

$K\times S^1$

O bien fibrados de la forma

$S^1\subset E\to \Sigma$ ,

donde $Σ$ es un orbifold: estos son los fibrados de Scott-Seifert. Indispensables para entender las modernas clasificaciones de las 3-variedades.

También los fibrados de las forma

$F\subset E\to S^1$ ,

siendo $F$ una superficie cerrada son fuente de ejemplos muy importantes.

[editar] Ejemplos con frontera

Hay 3-variedades con frontera, como la bola unitaria $D^3 \,$ o el toro sólido $D^2\times S^1$ , cuyas fronteras son las 2-esfera y el toro, respectivamente. También están todos los fibrados de la forma

$I\subset E\to F$

(I-bundles), donde $I$ es un intervalo y $F$ una superficie.

Ejemplo de $I$ -bundle es el $K\times^{\sim}I^O$ que es el fibrado (orientable) por intervalo sobre la botella de Klein, que construye pegando dos toros sólidos, identificando dos aros en la frontera de cada uno de ellos y que son la vecindad regular de una curva $(2,1)\,$ dos-longitudes y un meridiano, i.e. un nudo tórico. Sabemos que su frontera $\partial(K\times^{\sim}I^O)$ es un toro $S^1\times S^1$

Otro ejemplo es el producto cartesiano $M\ddot{o}\times S^1$ de la banda de Möbius con el círculo y el cual es $T\times^{\sim}I$ , que es diferente a $K\times^{\sim}I^O$ . El cual corresponde a $M\ddot{o}\times^{\sim}S^1$ . También la frontera $\partial(M\ddot{o}\times S^1)$ es $(\partial M\ddot{o})\times S^1$ el cual es un toro $S^1\times S^1$ .

[editar] Algunas clases de 3-variedades

Complementos de nudos y enlaces (knots and links)
Fibrado de Seifert
Espacios lentes (lens spaces)
Fibrados por superficie (Surface Bundles) sobre el círculo
Variedades de Haken
Graph manifolds
Esferas homológicas.

[editar] Resultados Fundamentales

Teorema de Descomposición Prima[1]
Teorema de Moise
Descomposición de JSJ[2]
Teoremas del Lazo y la Esfera[3] (que generalizan el Lema de Dehn).
Teorema de Geometrización para variedades de Haken
Teorema de Lickorish-Wallace

[editar] Problemas famosos

Conjetura de Poincaré
Geometrización de Thurston[4]
Conjetura de la fibración virtual.
Conjetura de ser virtualmente Haken.

[editar] Referencias

J. Hempel. 3-manifolds. Annals of mathematics studies No.86. Princeton Univ. Press. 1976. ISBN 0-691-08178-6, ISBN 0-691-08183-2 pbk
D. Rolfsen Knots and Links. Mathematical Lecture Series. 7. Berkeley, Ca.: Publish Perish, Inc. 1976.
A. Hatcher Basic topology of 3-manifolds. At http://www.math.cornell.edu/~hatcher/#3M