Teoría de nudos

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La teoría de los nudos es la rama de la topología que se encarga de estudiar el objeto matemático que abstrae la noción cotidiana de nudo, o más precisamente: encajes (embeddings), del círculo en espacios topológicos.

Al escuchar la palabra nudo vienen a nuestra mente imágenes como la de los cordones de unos zapatos, la de las sogas de los marineros e incluso vienen recuerdos como el de una extensión eléctrica difícil de desanudar. Todas esas imágenes son ejemplos de nudos que difieren por muy poco del concepto matemático de nudo.

Lo que pretende la definición matemática de nudo es dar una descripción rigurosa de lo que es el nudo y con ello poder dar respuesta a qué es que un nudo sea distinto de otro. La idea básica de esta definición es que, para darle cabida a que un nudo no se pueda desanudar, se pegan las puntas extremas del nudo. Por ello se dice que un nudo es un encaje del círculo en el espacio ( $S 3$ o alguna otra 3-variedad).

Por otro lado, el que un nudo se pueda deformar a otro, en matemáticas se escribe como: existe una homotopía entre ambos encajes.

Formalmente hablando, uno puede decir que un nudo en $S 3$ es una clase de equivalencia de encajes de la circunferencia ( S¹= {x $\in$ R² : |x|=1 } ) en la 3-esfera (S³= {x $\in$ R³ : |x|=1 }). La clase está dada por la equivalencia homotópica de funciones, es decir, dos encajes son equivalentes si existe una homotopía entre ambos.

También es posible estudiar nudos en el Toro: $S^1\times S^1$ .

[editar] Historia

La teoría de nudos fue originida por la idea de Lord Kelvin's (1867), de que los átomos eran nudos. El creía que si clasificaba todos los nudos posibles podría explicar cómo los átomos absorben y emiten luz. Ahora sabemos que esta idea es incorrecta.

El físico Peter Tait pasó muchos años enlistando nudos con la creencia de que estaba creando una tabla de elementos. Cuando el ether no fue detectado en el experimento de Michelson-Morley, la teoría de los átomos modelados mediante nudos fue desechada, y la teoría de los nudos dejó de ser de gran interés.

Pero, junto con el desarrollo de la topología en la parte final del siglo XIX, los nudos se convirtieron nuevamente en un campo de estudio popular. Hoy en día, la teoría de nudos tiene aplicaciones en teoría de cuerdas, en la gravedad cuántica, en el estudio de replicación y recombinación del ADN, y en áreas de la mecánica.

Importante recalcar que los complementos de algunos nudos tienen a 3-variedades como complementos y estos,... son objetos de intenso estudio.

[editar] Movidas de Reidemeister

El teorema de Reidemeister es uno de los primeros teoremas que conviene aprender sobre teoría de nudos. Este teorema es el fundamento teórico para que en teoría de nudos se hagan pruebas con dibujos, más precisamente, permite decir que un nudo es igual otro tan sólo haciendo dibujos. Además, de que éste, es una fuerte herramienta para la prueba de algunos invariantes.

El teorema de Reidemeister dice lo siguiente: Para pasar de una proyección regular de un nudo a otra proyección sólo se necesitan realizar susecivamente movidas de alguno de los siguientes tipos: