Análisis complejo
De Wikipedia, la enciclopedia libre
El análisis complejo es la rama de las matemáticas que investiga las funciones holomorfas, esto es, las funciones que están definidas en alguna región del plano complejo y que toman valores complejos y son diferenciables como funciones complejas.
La diferenciabilidad compleja tiene unas consecuencias mucho más fuertes que la diferenciabilidad usual en los reales. Por ejemplo, toda función holomorfa se puede representar con una serie de potencias en cada disco abierto del dominio de definición y, por tanto, es analítica. En particular, las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, un hecho que es marcadamente diferente de lo que ocurre en las funciones reales diferenciables. La mayoría de las funciones elementales como lo son, por ejemplo, los polinomios, la función exponencial y las funciones trigonométricas, son holomorfas.
[editar] Resultados principales
Una herramienta de central importancia en el análisis complejo es la integral de caminos. La integral de una función que sea holomorfa en todo punto que queda dentro de la región circundada por un camino cerrado es siempre cero. Esto es el Teorema integral de Cauchy. Los valores de una función holomorfa dentro de un disco pueden ser hallados mediante cierta integral de camino sobre la frontera del disco (fórmula integral de Cauchy). Las integrales de camino en el plano complejo se usan a menudo para encontrar integrales reales complicadas, y para esto es útil la teoría de los residuos. Si una función tiene un polo o una singularidad en algún punto, que quiere decir que sus valores "estallan", que no tiene un valor finito en tal punto, entonces se puede definir el residuo de la función en dicho polo, y estos residuos pueden ser usados para calcular integrales de caminos en las que entre la función que tiene la singularidad; este es el contenido del poderoso teorema de los residuos. El curioso comportamiento de las funciones holomorfas cerca de las singularidades esenciales es descrito por el teorema de Weierstrass-Casorati. Las funciones que tienen sólo polos y no singularidades esenciales se dicen meromorfas.
Las series de Laurent son similares a las series de Taylor pero pueden ser usadas para estudiar el comportamiento de las funciones cerca de las singularidades.
Una función acotada que sea holomorfa en el plano complejo debe ser constante; esto es el Teorema de Liouville, que puede usarse para dar una prueba natural y breve del Teorema fundamental del álgebra, que dice que el cuerpo de los números complejos es un cuerpo algebraicamente cerrado.
Una propiedad importante de las funciones holomorfas es que si una función lo es en un dominio simplemente conexo entonces sus valores están completamente determinados por sus valores sobre cualquier subdominio más pequeño. La función sobre el dominio más grande se diría que está analíticamente continuada, que es la continuación desde sus valores en el dominio más pequeño. Esto permite extender, a casi todo el plano, la definición de funciones como la función ζ de Riemann que están inicialmente definidas en términos de sumas infinitas que convergen sólo sobre dominios limitados. Algunas veces, como en el caso del logaritmo natural, es imposible continuar analíticamente una función holomorfa a un dominio conexo no simple en el plano complejo, pero es posible extenderla a una función holomorfa sobre una superficie íntimamente relacionada conocida como superficie de Riemann.
Existe también una rica teoría en el caso de más de una dimensión compleja, donde las propiedades analíticas como las de expansión en series de potencias permanece aún cierta pero que sin embargo la mayoría de las propiedades geométricas de las funciones en una dimensión compleja (como la de función conforme) ya no lo son. El teorema de la aplicación de Riemann sobre las relaciones conformes de ciertos dominios en el plano complejo, que puede ser el resultado más importante en la teoría unidimensional, falla totalmente en dimensiones mayores.
[editar] Historia
El análisis complejo es una de las ramas clásicas de las matemáticas que tiene sus raíces en el siglo XIX e incluso algo antes. Los nombres destacados en su desarrollo son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass y muchos más en el siglo XX. Tradicionalmente, el análisis complejo, en particular la teoría de las aplicaciones conformes, tiene muchas aplicaciones en ingeniería, pero es ampliamente usada también en teoría de números analítica. En tiempos modernos se convirtió en popular gracias al empuje de la dinámica compleja y los dibujos de fractales, producidos por la iteración de funciones holomorfas, de los cuales el más popular es el conjunto de Mandelbrot. Otras aplicaciones importantes del análisis complejo son las de la teoría de cuerdas, una teoría de campos cuánticos conforme-invariante.
