Średnia ważona

Z Wikipedii

Średnia ważona niepustej listy danych

$[x_1, x_2, ..., x_n]\,,$

z odnoszącymi się do nich nieujemnymi wagami

$[w_1, w_2, ..., w_n]\,,$

z których co najmniej jedna jest dodatnia, jest określona przez:

$\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i},$

co oznacza:

$\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}.$

W ten sposób dane którym przypisano większe wagi mają większy udział w określeniu średniej ważonej niż dane, którym przypisano mniejsze wagi.

Jeśli wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważona jest równa średniej arytmetycznej. Ogólnie, średnia ważona ma podobne własności do średniej arytmetycznej, jednakże ma ona kilka nieintuicyjnych cech (np. Paradoks Simpsona).

Spis treści

1 Przykład
2 Średnie ważone geometryczna i harmoniczna
3 Ważona średnia potęgowa
4 Kombinacja wypukła
5 Średnia ważona z użyciem wariancji
6 Zobacz też

[edytuj] Przykład

Załóżmy, że są dwie klasy szkolne, jedna z 20 uczniami i druga z 30 uczniami. Wyniki testu w przeprowadzonego w każdej klasie były następujące:

klasa A = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98

klasa B = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

Średnia arytmetyczna ocen w klasie A wynosi 80, a w klasie B 90. Średnia arytmetyczna z liczb 80 i 90, jest równa 85, gdyby tę średnią przyjęto jako średnią uczniów obu klas, wynik byłby nieprawidłowy, gdyż nie uwzględniono liczebności klas. Aby ją uwzględnić, należy zsumować wszystkie oceny uczniów obu klas i podzielić przez łączną liczbę uczniów:

$\bar{x} = \frac{4300}{50} = 86$

Można obliczyć średnią ważoną dla obydwu klas traktując liczbę uczniów każdej klasy jako współczynniki wagowe:

$\bar{x} = \frac{(20)\cdot 80 + (30)\cdot 90}{20 + 30} = 86$

Jeśli nie ma danych indywidualnych ocen poszczególnych uczniów, a tylko średnie dla całych klas, można obliczyć średnią uczniów licząc średnią ważoną klas używając liczby uczniów w klasach jako wagi tych liczb.

Innym, praktycznym przykładem zastosowania średniej ważonej (w ekonomii) jest obliczenie tzw. WACC.

[edytuj] Średnie ważone geometryczna i harmoniczna

Można obliczać inne średnie ważone takie jak średnia ważona geometryczna i średnia ważona harmoniczna.

Średnia ważona geometryczna obliczana jest wg następującej formuły:

$\bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{\sum_{i=1}^n w_i \ln x_i}{\sum_{i=1}^n w_i \quad} \right)$

Kiedy wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważona geometryczna równa się średniej geometrycznej.

Średnia ważona harmoniczna obliczana jest jak niżej:

$\bar{x} = \sum_{i=1}^n w_i \bigg/ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}$

Gdy wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważona harmoniczna równa się średniej harmonicznej.

Definicja średniej ważonej odgrywa ważną rolę w statystyce opisowej, oraz pojawia się w innych formach w innych obszarach matematyki.

[edytuj] Ważona średnia potęgowa

W ogólności można określić wariant ważony dla średniej potęgowej dowolnego rzędu rzeczywistego niezerowego q, zgodnie z wzorem:

$\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}{\sum_{i=1}^nw_i}\right)^{1/q}$

Dla rzędu 0 średnią potęgową ważoną jest opisana powyżej ważona średnia geometryczna, a dla rzędów $+/-\infty$ wprowadzenie wag nie zmienia wartości średniej.

Można zauważyć, że dla rzędu -1 średnia jest średnią ważoną harmoniczną, a dla rzędu 2 - średnią ważoną kwadratową

[edytuj] Kombinacja wypukła

Średnia ważona może być wyrażona za pomocą współczynników (wag), których suma wynosi jeden. Taka kombinacja liniowa nazywana jest kombinacją wypukłą.

Używając poprzedniego przykładu, można obliczyć średnią ważoną z użyciem kombinacji wypukłej w następujący sposób:

$\frac{20}{20 + 30} = 0,4\,$

$\frac{30}{20 + 30} = 0,6\,$

$\bar{x} = \frac{(0,4)\cdot 80\% + (0,6)\cdot 90\%}{0,4 + 0,6} = 86\%$

a po uproszczeniu:

$\bar{x} = (0,4)\cdot 80\% + (0,6)\cdot 90\% = 86\%$

[edytuj] Średnia ważona z użyciem wariancji

Załóżmy, że mamy zbiór $n\,\!$ liczb $x_i\,\!$ wylosowanych z różnych rozkładów, o tej samej wartości średniej $x\,\!$ , ale niekoniecznie tych samych wariancjach ${\sigma_i}^2\,$ . Wówczas możemy skonstruować następujący estymator wartości $x\,\!$ o najmniejszej wariancji:

$\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i/{\sigma_i}^2}{\sum_{i=1}^n 1/{\sigma_i}^2}.$

W istocie jest to średnia ważona z wagami:

$w_i = \frac{1}{\sigma_i^2}.$

Możemy zaproponować dwa estymatory wariancji $\bar{x}\,\!$ . Wariancję wewnętrzną:

$\sigma_{int}^2 = \frac{ 1 }{\sum_{i=1}^n 1/{\sigma_i}^2},$

oraz wariancję zewnętrzną:

$\sigma_{ext}^2 = \frac{ \sigma_{int}^2 }{n-1}\sum_{i=1}^n\left(\frac{ x_i-\bar{x}}{\sigma_i}\right)^2.$

Czym różnią się powyższe estymatory wariancji? W warunkach eksperymentalnych zazwyczaj nie dysponujemy wartościami wariancji ${\sigma_i}^2\,$ , a jedynie ocenami tych wariancji - kwadratami niepewności doświadczalnych $s_i^2\,\!$ . Po podstawieniu ich do powyższych wzorów może się okazać, że obliczona niepewność zewnętrzna i wewnętrzna różnią się! Praktyka nakazuje unikać zaniżania niepewności i w takiej sytuacji brać większą z obliczonych wartości. Warto jednak zwrócić uwagę na to, że kwadrat obliczonej w ten sposób niepewności nie jest już nieobciążonym estymatorem wariancji.

Jeżeli niepewność zewnętrzna jest znacząco mniejsza od wewnętrznej może to oznaczać, że użyte niepewności $s_i\,\!$ są przeszacowane; jeśli niepewność zewnętrzna jest większa od wewnętrznej może to sugerować niedoszacowanie niepewności. Jeśli rzeczywiście nie mamy zaufania do wartości obliczonych niepewności, można je pomnożyć przez wartość $\frac{s_{int}}{s_{ext}},$ i obliczyć niepewność zewnętrzną i wewnętrzną jeszcze raz.